계산법

현대 미적분학은 17 세기 유럽에서 Isaac Newton 과 Gottfried Wilhelm Leibniz (서로 독립적으로 같은시기에 처음 출판 됨)에 의해 개발되었지만, 그 요소는 고대 그리스, 중국, 중동, 그리고 나중에 다시 나타났습니다. 중세 유럽과 인도에서.

고대

아르키메데스 는 포물선 아래의 면적을 계산하기 위해 탈진 방법을 사용했습니다 .

고대에는 적분 적 미적분학으로 이어진 몇 가지 아이디어가 도입 되었지만 이러한 아이디어가 엄격하고 체계적으로 발전하지 않은 것 같습니다. 의 계산 볼륨 과 영역 , 적분의 하나 개의 목표는에서 찾을 수 있습니다 이집트 모스크바 파피루스 ( 13 왕조 , C.  1820  BC)를; 그러나 공식은 방법에 대한 표시가없는 간단한 지침이며 일부는 주요 구성 요소가 부족합니다. ^[6]

의 나이에서 그리스어 수학 , Eudoxus ( C.  408-355  BC)는 사용 고갈의 방법 동안, 계산 영역 및 볼륨, 한계의 개념을 예시한다, 아르키메데스 ( C.  287-212  BC)가 더이 아이디어를 개발 , 적분 미적분의 방법과 유사한 휴리스틱 을 발명 합니다. ^[7]

고갈의 방법은 나중에 3 세기 에 Liu Hui 가 원의 면적을 찾기 위해 중국 에서 독자적 으로 발견했습니다. ^[8] 5 세기 AD에서 주 겡지 의 아들 촉산 Chongzhi는 , 방법 설립 ^{[9] [10]} 나중에 호출 될 것이라고 카발리 에리의 원리를 a의 볼륨 찾기 위해 영역을 .

중세

Alhazen, 11 세기 아랍 수학자이자 물리학 자

중동에서, 라틴어로 Alhazen ( c.  965  – c.  1040  CE)으로 라틴어로 번역 된 Hasan Ibn al-Haytham 은 4 승 의 합에 대한 공식을 도출했습니다 . 그는 그 결과를 사용하여 현재이 함수 의 적분 이라고하는 것을 수행했습니다 . 여기서 적분 제곱과 4 승의 합에 대한 공식을 통해 포물선 의 부피를 계산할 수있었습니다 . ^[11]

14 세기에 인도의 수학자들은 일부 삼각 함수에 적용 할 수있는 미분과 유사한 비 엄격한 방법을 제시했습니다. 그래서 Sangamagrama의 Madhava 와 Kerala School of Astronomy and Mathematics 는 미적분의 구성 요소를 언급했습니다. 이러한 구성 요소를 포함하는 완전한 이론은 현재 서양 세계에서 Taylor 급수 또는 무한 급수 근사 로 잘 알려져 있습니다 . ^[12] 그러나, 그들은 할 수 없었다 "의 두 통일 주제로 많은 다른 아이디어를 결합 미분 과 적분 , 둘 사이의 연결을 보여주고, 오늘날 우리가 가지고있는 큰 문제 해결 도구로 수학을 켜십시오." ^[11]

현대

유럽에서 기초 작업은 부피와 면적이 극히 얇은 단면의 부피와 면적의 합으로 계산되어야한다고 주장한 Bonaventura Cavalieri가 작성한 논문이었습니다 . 아이디어는 The Method의 Archimedes와 유사 하지만이 논문은 13 세기에 잃어버린 것으로 여겨지며 20 세기 초에 재발견되었으므로 Cavalieri에게는 알려지지 않았을 것입니다. Cavalieri의 작업은 그의 방법이 잘못된 결과로 이어질 수 있기 때문에 잘 존중되지 않았고 그가 도입 한 극소량의 양은 처음에는 평판이 좋지 않았습니다.

미적분에 대한 공식적인 연구 는 거의 동시에 유럽에서 개발 된 유한 차분 의 미적분 과 Cavalieri의 극소수를 결합 했습니다. 피에르 드 페르마 (Pierre de Fermat )는 그가 Diophantus 에서 차용했다고 주장 하며, 극소 오차항까지 평등을 나타내는 부등 성의 개념을 도입했습니다 . ^[14] 이 조합은 John Wallis , Isaac Barrow , James Gregory에 의해 이루어졌으며 , 후자의 두 사람 은 1670 년경 미적분학 의 두 번째 기본 정리를 증명했습니다 .

Isaac Newton 은 운동 과 중력의 법칙 에서 미적분의 사용을 개발했습니다 .

곱셈 법칙 과 체인 룰 , ^[15] 의 개념 높은 유도체 및 테일러 시리즈 , ^[16] 및 분석 함수 ^{[ 필요 인용 ]} 에 의해 사용 된 뉴턴 그가의 문제를 해결하기 위해 적용된 특이한 표기 수학 물리학 . 그의 작품에서 Newton은 그의 생각을 당시의 수학적 관용구에 맞게 바꾸어 계산을 비난 할 수없는 동등한 기하학적 인수로 무한 소수로 대체했습니다. 그는 유성 운동의 문제를 해결하는 치석의 방법을 사용하여 상기 회전하는 액체의 표면 형상 지구의 편평도하는 슬라이딩 중량의 움직임 사이클로이드 등 많은 문제가 그의 논의 수학 원리 ( 1687). 다른 작업에서 그는 분수 및 비합리적 힘을 포함한 함수에 대한 시리즈 확장을 개발했으며 Taylor 시리즈 의 원리를 이해하고 있음이 분명했습니다 . 그는이 모든 발견을 출판하지 않았고, 이때 극소 한 방법은 여전히 ​​평판이 좋지 않은 것으로 간주되었습니다.

Gottfried Wilhelm Leibniz 는 미적분의 규칙을 명확하게 설명한 최초의 사람입니다.

이러한 아이디어 는 원래 Newton에 의해 표절 혐의로 고발 된 Gottfried Wilhelm Leibniz에 의해 무한 미분의 진정한 미적분으로 배열되었습니다 . ^[17] 그는 지금으로 간주 독립적 발명자 미적분 및 기여자. 그의 공헌은 극소량으로 작업하기위한 명확한 규칙 세트를 제공하여 2 차 및 상위 미분의 계산을 허용 하고 미분 및 적분 형태로 제품 규칙 및 체인 규칙 을 제공하는 것이 었습니다 . Newton과 달리 Leibniz는 형식주의에 많은 관심을 기울였으며 종종 개념에 적합한 기호를 결정하는 데 며칠을 보냈습니다.

오늘날 Leibniz 와 Newton 은 일반적으로 독립적으로 미적분을 발명하고 개발하는 데 공로를 인정받습니다. Newton은 미적분학을 일반 물리학에 처음으로 적용 했으며 Leibniz는 오늘날 미적분학에 사용되는 많은 표기법을 개발했습니다. Newton과 Leibniz가 제공 한 기본적인 통찰은 미분과 적분의 법칙, 2 차 및 상위 미분, 근사 다항식 시리즈의 개념이었습니다. 뉴턴 시대에는 미적분학의 기본 정리가 알려졌습니다.

Newton과 Leibniz가 처음 결과를 발표했을 때, 어떤 수학자 (그리고 어느 나라)가 신용을받을 자격 이 있는지에 대해 큰 논쟁 이있었습니다 . Newton은 그의 결과를 먼저 도출했지만 (나중에 그의 Method of Fluxions에 출판 될 예정 임) Leibniz는 그의 " Nova Methodus pro Maximis et Minimis "를 먼저 출판했습니다 . Newton은 Leibniz가 그의 미발표 노트에서 아이디어를 훔쳤다고 주장했으며 Newton은 Royal Society 의 몇몇 회원들과 공유했습니다 . 이 논쟁은 영어를 사용하는 수학자와 유럽 대륙 수학자를 여러 해 동안 구분하여 영어 수학에 해를 끼쳤다. ^{[ 표창장은 필요로했다 ]} 그들은 라이프니츠 분화와 통합 및 뉴턴 먼저 시작으로, 독립적으로 결과에 도착하는 것이 라이프니츠와 뉴턴 쇼의 논문의주의 깊은 검사를. 그러나 새로운 분야에 이름을 부여한 사람은 라이프니츠입니다. Newton은 그의 미적분을 " 플럭 션의 과학 "이라고 불렀습니다 .

Leibniz와 Newton 시대 이후로 많은 수학자들은 미적분학의 지속적인 발전에 기여해 왔습니다. 극소 미적분 과 적분 미적분 에 대한 최초이자 가장 완벽한 작품 중 하나는 1748 년에 Maria Gaetana Agnesi 가 썼습니다 . ^{[18] [19]}

마리아가에 타나 아 그네시

기초

미적분학에서 기초 는 공리 와 정의 에서 주제를 엄격하게 발전 시키는 것을 말합니다 . 초기 미적분학에서의 사용 극소 수량 unrigorous 생각되었고, 치열한 저자, 특히들에 의해 비판을 받았다 미셸 롤 과 버클리 주교 . Berkeley 는 1734 년 그의 저서 The Analyst 에서 극소수를 떠난 수량 의 유령 으로 유명하게 묘사 했습니다. 뉴턴과 라이프니츠에 이어 지난 세기 동안 미적분학에 종사하는 수학자를위한 엄격한 기반을 마련했으며 오늘날에도 어느 정도 활발한 연구 분야입니다.

Maclaurin을 포함한 몇몇 수학자 들은 무한 소수 사용의 건 전함을 증명하려했지만, 150 년이 지나야 Cauchy 와 Weierstrass 의 연구로 인해 마침내 무한히 적은 양의 단순한 "관념"을 피할 수있는 방법이 발견되었습니다. . ^[20] 미적분의 기초가 마련되었다. Cauchy의 Cours d' Analyse 에서 우리 는 미분의 정의에서 한계 에 대한 (ε, δ) 정의의 (다소 부정확 한) 프로토 타입과 무한소에 대한 연속성 정의를 포함하여 광범위한 기본 접근법을 찾습니다 . ^[21] 그 연구에서 바이어 슈트 라스는 개념 공식화 한계 및 제거를 무한소 (그의 정의 실제로 확인할 수 있지만 nilsquare 무한소 참조). Weierstrass의 연구에 따라, 주제는 때때로 "무한 미적분"이라고 불리기는하지만, 결국 무한한 양 대신 한계에 미적분을 기본으로하는 것이 일반적이되었습니다. Bernhard Riemann은이 아이디어를 사용하여 적분의 정확한 정의를 제공했습니다. 미적분학의 개념이 유클리드 공간 과 복잡한 평면 으로 일반화 된 것도이시기였습니다 .

현대 수학에서 미적분의 기초는 미적분 정리의 완전한 정의와 증명 을 포함하는 실제 분석 분야에 포함됩니다 . 미적분의 범위도 크게 확장되었습니다. Henri Lebesgue는 측정 이론을 발명 하여 가장 병리적인 기능 을 제외한 모든 적분을 정의하는 데 사용했습니다 . Laurent Schwartz 는 모든 함수의 도함수를 가져 오는 데 사용할 수있는 분포를 도입했습니다 .

한계는 미적분학의 기초에 대한 유일한 엄격한 접근 방식이 아닙니다. 또 다른 방법은 Abraham Robinson 의 비표준 분석을 사용하는 것 입니다. 1960 년대에 개발 된 로빈슨의 접근 방식은,에서 기술 기계를 사용하여 수학적 논리 와 실수 시스템 보강 미소 와 무한 원래 뉴턴 - 라이프니츠의 개념에서와 같이 숫자를. 결과 숫자를 초 실수 라고 하며 일반적인 미적분 규칙의 라이프니츠와 같은 발전을 제공하는 데 사용할 수 있습니다. 또한이되어 미소 분석을 부드럽게 은 유도 동안 높은 전력 무한소를 무시 위임한다는 점에서 표준이 아닌 분석 다릅니다.

의미

미적분학에 대한 많은 아이디어가 그리스 , 중국 , 인도 , 이라크, 페르시아 및 일본 에서 초기에 개발되었지만 , 17 세기에 Isaac Newton 과 Gottfried Wilhelm Leibniz 가 초기 수학자들이 기본 원리를 소개합니다. 미적분학의 발전은 순간적인 움직임과 곡선 아래 영역의 초기 개념에 기반을두고 있습니다.

미분 미적분의 응용에는 속도 및 가속도 , 곡선 의 기울기 및 최적화 와 관련된 계산이 포함 됩니다. 적분 미적분의 응용에는 면적, 부피 , 호 길이 , 질량 중심 , 작업 및 압력 과 관련된 계산이 포함 됩니다. 고급 응용 분야에는 전력 계열 및 푸리에 계열이 포함 됩니다.

미적분은 또한 공간, 시간 및 움직임의 본질을보다 정확하게 이해하는 데 사용됩니다. 수세기 동안 수학자와 철학자들은 0으로 나누 거나 무한히 많은 수의 합을 포함하는 역설과 씨름했습니다 . 이러한 질문은 운동 및 영역 연구에서 발생 합니다. 고대 그리스 의 철학자 엘레아의 제논 등의 몇 가지 유명한 예 주었다 모순을 . 미적분학은 역설을 해결하는 도구, 특히 한계 및 무한 급수 를 제공합니다.

한계와 극소수

미적분은 일반적으로 매우 적은 양으로 작업하여 개발됩니다. 역사적으로 그렇게하는 첫 번째 방법은 무한소 수법이었습니다 . 이것들은 실수처럼 취급 될 수 있지만 어떤 의미에서는 "무한히 작은"객체입니다. 예를 들어, 무한 소수는 0보다 크지 만 시퀀스 1, 1/2, 1/3, ...의 어떤 수보다 작을 수 있으므로 양의 실수 보다 작을 수 있습니다. 이러한 관점에서 미적분은 무한 소수를 조작하는 기술의 모음입니다. 기호${\ displaystyle dx}$ 과 ${\ displaystyle dy}$ 극소수로 취해졌고 도함수는 ${\ displaystyle dy / dx}$ 단순히 그들의 비율이었습니다.

무한한 접근 방식은 무한한 정밀한 개념을 만들기가 어려웠 기 때문에 19 세기에 선호되지 않았습니다. 그러나이 개념은 20 세기에 비표준 분석 과 부드러운 극소 분석 의 도입으로 부활하여 무한소 의 조작을위한 견고한 기반을 제공했습니다.

19 세기 후반에, 무한 소수는 학계 내 에서 한계에 대한 델타 접근 방식 인 엡실론 으로 대체되었습니다 . 한계 는 특정 입력 의 함수 값을 근처 입력 의 값과 관련하여 설명합니다 . 실수 체계 의 맥락에서 소규모 행동을 포착 합니다 . 이 치료에서 미적분은 특정 한계를 조작하기위한 기법의 모음입니다. 무한 소수는 매우 작은 수로 대체되고 함수의 무한히 작은 동작은 더 작은 수에 대한 제한 동작을 취함으로써 발견됩니다. 한계는 미적분학을위한보다 엄격한 기반을 제공하는 것으로 생각되었으며, 이러한 이유로 20 세기 동안 표준 접근 방식이되었습니다.

미적분학

( x ₀ , f ( x ₀ ))에 접선 . 점에서 곡선 의 미분 f ' ( x ) 는 해당 점에서 해당 곡선에 접하는 선의 기울기 (상승)입니다.

미적분학은 함수 미분 의 정의, 속성 및 응용에 대한 연구입니다 . 미분을 찾는 과정을 미분이라고 합니다 . 도메인의 함수와 지점이 주어지면 해당 지점의 미분은 해당 지점 근처의 함수의 소규모 동작을 인코딩하는 방법입니다. 도메인의 모든 지점에서 함수의 미분을 찾으면 미분 함수 또는 원래 함수 의 미분 이라는 새로운 함수를 생성 할 수 있습니다 . 공식적으로 미분은 함수를 입력으로 사용하고 두 번째 함수를 출력으로 생성하는 선형 연산자 입니다. 이것은 함수가 일반적으로 숫자를 입력하고 다른 숫자를 출력하는 기본 대수에서 연구되는 많은 프로세스보다 더 추상적입니다. 예를 들어, 배가 함수에 입력 3이 주어지면 6을 출력하고 제곱 함수에 입력 3이 주어지면 9를 출력합니다. 그러나 미분은 제곱 함수를 입력으로 사용할 수 있습니다. 이것은 도함수가 제곱 함수의 모든 정보를 취한다는 것을 의미합니다. 예를 들어 2 개는 4 개, 3 개는 9 개, 4 개는 16 개 등으로,이 정보를 사용하여 다른 함수를 생성합니다. 제곱 함수를 도출하여 생성 된 함수가 배가 함수 인 것으로 밝혀졌습니다.

보다 명확한 용어로 "배가 함수"는 g ( x ) = 2 x 로 표시되고 "제곱 함수"는 f ( x ) = x ² 로 표시 될 수 있습니다 . "미분"은 이제 " x ² " 표현식으로 정의 된 함수 f ( x )를 입력으로 받습니다. 즉, 2 개는 4 개, 3 개는 9 개, 4 개는 모든 정보입니다. 그리고이 정보를 사용하여 또 다른 함수 인 g ( x ) = 2 x 함수를 출력 합니다.

파생 상품에 대한 가장 일반적인 기호 는 prime 이라고 하는 아포스트로피 와 같은 표시 입니다. 따라서 f 라는 함수의 미분은 "f 프라임"으로 발음 되는 f ' 로 표시됩니다 . 예를 들어, f ( x ) = x ² 가 제곱 함수 인 경우 f ′ ( x ) = 2 x 는 미분입니다 ( 위에서 두 배 함수 g ). 이 표기법을 라그랑주 표기법이라고 합니다.

함수의 입력이 시간을 나타내는 경우 미분은 시간에 대한 변화를 나타냅니다. 예를 들어, F를 입력으로 시간이 걸리고 출력과 그 때의 볼의 위치를 제공하는 함수이고, 다음의 유도체 f는 위치가 시간 변화하는 방법이며, 즉, 이는 인 속도 의 공.

함수가 선형 인 경우 (즉 , 함수 의 그래프 가 직선 인 경우) 함수는 y = mx + b 로 작성 될 수 있습니다 . 여기서 x 는 독립 변수, y 는 종속 변수, b 는 y- 절편 및 :

${\ displaystyle m = {\ frac {\ text {rise}} {\ text {run}}} = {\ frac {{\ text {change in}} y} {{\ text {change in}} x}} = {\ frac {\ 델타 y} {\ 델타 x}}.}$

이것은 직선의 기울기에 대한 정확한 값을 제공합니다. 그러나 함수의 그래프가 직선이 아니면 y 의 변화를 x 의 변화로 나눈 값이 달라집니다. 도함수는 입력의 변화와 관련하여 출력의 변화 개념에 정확한 의미를 부여합니다. 콘크리트로,하자 f는 함수, 그리고 포인트 해결 을 의 영역에서 F . ( a , f ( a )) 는 함수 그래프의 한 점입니다. 경우 시간이 제로에 숫자 가까운이며, 다음 +의 H는 에 숫자 가까운 A는 . 따라서 ( a + h , f ( a + h )) 는 ( a , f ( a ))에 가깝습니다 . 이 두 지점 사이의 기울기는

${\ displaystyle m = {\ frac {f (a + h) -f (a)} {(a + h) -a}} = {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h }}.}$

이 식을 차분 몫 이라고합니다 . 곡선의 두 점을 통과하는 선을 시컨트 선 이라고합니다 . 따라서 m 은 ( a , f ( a )) 와 ( a + h , f ( a + h )) 사이의 시컨트 선의 기울기입니다 . 시컨트 라인은 a 와 a + h 사이 에서 일어나는 일을 설명하지 않기 때문에 a 지점에서 함수의 동작에 대한 근사치 일뿐 입니다. 정의되지 않은 0으로 나눌 필요가 있기 때문에 h 를 0 으로 설정 하여 a 에서 동작을 발견 할 수 없습니다 . 유도체는 촬영에 의해 정의되는 제한 으로 H가 제로로되는 경향이 동작 고려 즉, F 모두 작은 값 H를 언제 경우의 일치 값을 추출 시간이 0 인 :

${\ displaystyle \ lim _ {h \에서 0} {f (a + h) -f (a) \ over {h}}.}$

기하학적 유도체는 기울기이다 접선 의 그래프 F 에서 A는 . 접선은 미분이 차이 몫의 한계 인 것처럼 시컨트 라인의 한계입니다. 이러한 이유로 미분을 함수 f 의 기울기라고도합니다 .

다음은 입력 3에서 제곱 함수의 도함수 인 특정 예입니다. f ( x ) = x ^2를 제곱 함수라고합니다.

한 지점에서 곡선 의 미분 f ' ( x ) 는 해당 지점에서 해당 곡선에 접하는 선의 기울기입니다. 이 기울기는 시컨트 라인의 기울기 제한 값을 고려하여 결정됩니다. 여기서 관련된 함수 (빨간색으로 그려 짐)는 f ( x ) = x ³ − x 입니다. 점 (−3/2, −15/8) 을 통과하는 접선 (녹색) 의 기울기는 23/4 입니다. 이 이미지의 세로 및 가로 배율은 다릅니다.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} f '(3) & = \ lim _ {h \ to 0} {(3 + h) ^ {2} -3 ^ {2} \ over {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {9 + 6h + h ^ {2} -9 \ over {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {6h + h ^ {2} \ {h}} \\ & = \ lim _ {h \에서 0} (6 + h) \\ & = 6 \ end {aligned}}} 이상$

점 (3, 9)에서 제곱 함수에 대한 접선의 기울기는 6입니다. 즉, 오른쪽으로가는 것보다 6 배 빠르게 올라갑니다. 방금 설명한 제한 프로세스는 제곱 함수 영역의 모든 지점에 대해 수행 할 수 있습니다. 이것은 제곱 함수의 미분 함수 또는 간단히 제곱 함수 의 미분을 정의합니다 . 위의 계산과 유사한 계산은 제곱 함수의 미분이 배가 함수임을 보여줍니다.

라이프니츠 표기법

위의 예에서 파생물에 대해 Leibniz가 도입 한 일반적인 표기법은 다음과 같습니다.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} y & = x ^ {2} \\ {\ frac {dy} {dx}} & = 2x. \ end {aligned}}}$

한계를 기반으로 한 접근 방식에서 기호는 dy/dx는 두 숫자의 몫이 아니라 위에서 계산 된 한계의 약자로 해석되어야합니다. 그러나 Leibniz는 두 개의 무한소 작은 숫자의 몫을 나타내려고 의도했습니다. dy 는 x에 적용된 무한소 작은 변화 dx 에 의해 야기되는 y 의 무한소 작은 변화 입니다. 우리는 또한 생각할 수 있습니다디/dx미분 연산자로, 함수를 입력으로 사용하고 다른 함수 인 미분을 출력으로 제공합니다. 예를 들면 :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (x ^ {2}) = 2x.}$

이 사용법 에서 분모 의 dx 는 " x에 대하여"로 읽습니다 . 올바른 표기법의 또 다른 예는 다음과 같습니다.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} g (t) = t ^ {2} + 2t + 4 \\\\ {d \ over dt} g (t) = 2t + 2 \ end {aligned}}}$

미적분학이 무한소가 아닌 한계를 사용하여 개발 된 경우에도 dx 및 dy 와 같은 기호를 마치 실수 인 것처럼 조작하는 것이 일반적 입니다. 이러한 조작을 피할 수는 있지만 총 미분 과 같은 연산을 표현하는 데있어 표기 적으로 편리합니다 .

적분 미적분

적분은 두 개의 관련 개념의 정의, 특성 및 응용 프로그램의 연구이다 부정적분 과 정적분 . 적분 값을 찾는 과정을 적분이라고 합니다 . 기술 언어에서 적분 미적분은 두 개의 관련 선형 연산자를 연구 합니다.

부정적분 일컬어, 역도는 미분의 역 연산이다. F는 무기한 일체 F 때 f는 의 유도체 F . (함수에 대해 소문자와 대문자를 사용하고 그 부정적분은 미적분학에서 일반적입니다.)

정적분 입력하는 기능과 입력의 그래프와 영역 사이의 대수 합이 제공하는 출력 번호 X 축 . 정적분의 기술적 정의 는 Riemann sum 이라고하는 사각형 영역의 합의 한계 를 포함합니다 .

동기를 부여하는 예는 주어진 시간에 이동 한 거리입니다.

${\ displaystyle \ mathrm {거리} = \ mathrm {속도} \ cdot \ mathrm {시간}}$

속도가 일정하면 곱하기 만하면되지만 속도가 변하면 더 강력한 거리를 찾는 방법이 필요합니다. 이러한 방법 중 하나는 시간을 여러 짧은 시간 간격으로 나눈 다음 각 간격에서 경과 한 시간에 해당 간격의 속도 중 하나를 곱한 다음 해당 간격의 합계 ( 리만 합계 )를 구하여 이동 한 거리를 대략적으로 계산하는 것 입니다. 각 구간에서 이동 한 대략적인 거리. 기본 아이디어는 짧은 시간이 지나도 속도는 거의 동일하게 유지된다는 것입니다. 그러나 Riemann 합계는 이동 한 거리의 근사값 만 제공합니다. 우리는 정확한 이동 거리를 찾기 위해 그러한 모든 리만 합계의 한계를 가져야합니다.

일정한 속도

적분은 두 점 (여기서는 a 와 b ) 사이에서 f ( x )로 정의되는 곡선 아래 면적을 측정하는 것으로 생각할 수 있습니다 .

속도가 일정 할 때 주어진 시간 간격 동안 이동 한 총 거리는 속도와 시간을 곱하여 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 3 시간 동안 50mph를 꾸준히 주행하면 총 거리가 150 마일이됩니다. 왼쪽 그림에서 일정한 속도와 시간을 그래프로 표시 할 때이 두 값은 속도와 동일한 높이와 경과 시간과 동일한 너비의 직사각형을 형성합니다. 따라서 속도와 시간의 곱은 (일정한) 속도 곡선 아래의 직사각형 영역도 계산합니다. 곡선 아래 영역과 이동 거리 사이의 이러한 연결은 지정된 시간 동안 속도가 변동 하는 불규칙한 모양의 영역 으로 확장 될 수 있습니다 . 경우 F ( X ) 는 시간 변동으로 오른쪽 그림은 속도를 나타내고 (시간은로 표시 사이의 거리가 이동 및 B )에 음영 영역의 면적이다  (S) .

이 영역을 근사화하기 위해 직관적 인 방법은 a 와 b 사이의 거리를 여러 개의 동일한 세그먼트 (기호 Δ x로 표시되는 각 세그먼트의 길이) 로 나누는 것 입니다. 각각의 작은 세그먼트에 대해 함수 f ( x )의 값을 하나 선택할 수 있습니다 . 그 값을 h 라고 부릅니다 . 그런 다음 밑변이 Δ x 이고 높이가 h 인 사각형의 면적은 해당 세그먼트에서 이동 한 거리 (시간 Δ x 곱하기 속도 h )를 제공합니다. 각 세그먼트와 관련된 것은 그 위에있는 함수의 평균 값 f ( x ) = h 입니다. 이러한 모든 직사각형의 합계는 축과 곡선 사이의 면적에 대한 근사치를 제공하며, 이는 총 이동 거리의 근사치입니다. Δ x의 값이 작을수록 더 많은 직사각형이 제공되고 대부분의 경우 더 나은 근사치를 얻을 수 있지만 정확한 답을 얻으려면 Δ x 가 0에 가까워 질 때 제한을 받아야 합니다.

통합의 상징은 ${\ displaystyle \ int}$, 길쭉한 S ( S 는 "합"을 나타냄). 정적분은 다음과 같이 작성됩니다.

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

및 '에서 일체 판독 을 위해 ㄱ 의 F -of- X 에 대해서 X . " Leibniz 표기법 dx 는 곡선 아래 영역을 무한한 수의 직사각형으로 나누는 것을 제안하여 너비 Δ x 는 무한히 작은 dx가 됩니다. 한계에 기반한 미적분의 공식화에서 표기법

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ cdots \, dx}$

함수를 입력으로 사용하고 숫자, 면적을 출력으로 제공하는 연산자로 이해해야합니다. 종결 미분 dx 는 숫자가 아니며 f ( x )를 곱하지 않지만 Δ x 한계 정의 를 상기시키는 역할을하지만 적분의 기호 조작에서 이와 같이 처리 할 수 ​​있습니다. 공식적으로 미분은 함수가 통합되는 변수를 나타내며 통합 연산자의 닫는 대괄호 역할을합니다.

부정적분 또는 역도 함수는 다음과 같이 작성됩니다.

${\ displaystyle \ int f (x) \, dx.}$

상수에 의해서만 다른 함수는 동일한 도함수를 가지며 주어진 함수의 역도 함수는 실제로 상수에 의해서만 다른 함수의 패밀리임을 보여줄 수 있습니다. 함수 y = x ² + C 의 미분 ( 여기서 C 는 상수 임)은 y ' = 2 x 이므로 후자의 역도 함수 는 다음과 같이 제공됩니다.

${\ displaystyle \ int 2x \, dx = x ^ {2} + C.}$

부정적분 또는 역도 함수에 존재 하는 지정되지 않은 상수 C를 적분 상수라고합니다 .

기본 정리

미적분학 의 기본 정리는 미분 과 통합이 역 연산이라고 말합니다. 보다 정확하게는 역도 함수의 값을 명확한 적분과 관련시킵니다. 정적분의 정의를 적용하는 것보다 역도 함수를 계산하는 것이 일반적으로 더 쉽기 때문에 미적분의 기본 정리는 정적분을 계산하는 실용적인 방법을 제공합니다. 또한 미분은 통합의 역이라는 사실에 대한 정확한 진술로 해석 될 수도 있습니다.

미적분학의 기본 정리는 다음과 같습니다. 함수 f 가 구간 [ a , b ] 에서 연속 적이고 F 가 구간 ( a , b ) 에서 도함수가 f 인 함수 이면

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = F (b) -F (a).}$

또한, 모든 대 (X) 의 간격에서 ( , B ) ,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, dt = f (x).}$

Isaac Barrow의 초기 작업에 기반한 Newton 과 Leibniz에 의해 이루어진 이러한 인식 은 작업이 알려진 후 분석 결과가 확산되는 핵심이었습니다. 기본적인 원리는 위해 수식을 찾음으로써 프로세스 제한 행하지 않고 적분 일대 명확한 컴퓨팅 대수적 방법을 제공 부정적분을 . 또한 미분 방정식 의 프로토 타입 솔루션입니다 . 미분 방정식은 알려지지 않은 함수를 그 파생물과 관련시키고 과학에서 어디에나 있습니다.

Nautilus shell 의 대수 나선 은 미적분과 관련된 성장과 변화를 묘사하는 데 사용되는 고전적인 이미지입니다.

미적분은 자연 과학의 모든 지점에서 사용하는 보험 수리적 과학 , 컴퓨터 과학 , 통계 , 공학 , 경제학 , 비즈니스 , 의학 , 인구 통계학 문제가 될 수있는 곳, 그리고 다른 분야에서 수학적으로 모델링 하고 최적의 솔루션이 요구되고있다. 그것은 하나가 (일정하지 않은) 변화율에서 전체 변화로 또는 그 반대로 갈 수있게 해준다. 그리고 우리가 알고있는 문제를 연구 할 때 여러 번 다른 것을 찾으려고한다.

물리학 은 특히 ​​미적분을 사용합니다. 고전 역학 과 전자기학의 모든 개념은 미적분학을 통해 관련됩니다. 대량 알려진 물체의 밀도 는 관성 모멘트 객체뿐만 아니라 보수적 인 분야 내에서 객체의 총 에너지는 미적분학의 사용에 의해 발견 될 수있다. 역학에서 수학의 사용의 예는 뉴턴의 운동 제 2 법칙 : 그것은 명시 적 의미 용어는 "운동의 변화"를 사용 역사적으로 언급 된 파생 말 변화 신체의 모멘텀이 몸에 작용하는 합력과 같다 같은 방향에 있습니다. 오늘날 일반적으로 힘 = 질량 × 가속도로 표현되며, 가속도는 속도의 시간 미분 또는 궤도 또는 공간 위치의 2 차 미분이기 때문에 미분을 의미합니다. 물체가 어떻게 가속되는지 아는 것부터 시작하여 미적분을 사용하여 경로를 도출합니다.

맥스웰의 전자기학 이론 과 아인슈타인 의 일반 상대성 이론 은 미적분학의 언어로도 표현됩니다. 화학은 또한 반응 속도와 방사성 붕괴를 결정하는 데 미적분을 사용합니다. 생물학에서 인구 역학은 인구 변화를 모델링하기위한 생식 및 사망률로 시작됩니다.

미적분은 다른 수학 분야와 함께 사용할 수 있습니다. 예를 들어 선형 대수 와 함께 사용 하여 도메인의 점 집합에 대한 "최적의"선형 근사를 찾을 수 있습니다. 또는 확률 이론 에서 가정 된 밀도 함수에서 연속 랜덤 변수의 확률을 결정하는 데 사용할 수 있습니다 . 에서는 분석 형상 함수의 그래프의 연구는, 미적분 높은 점과 낮은 점 (정재파) 기울기 찾는 데 사용되는 오목 부 와 변곡점 .

단순한 폐곡선 C 주위의 선 적분과 C로 경계를 이루는 평면 영역 D에 대한 이중 적분 간의 관계를 제공하는 Green 's Theorem 은 평면 의 면적을 계산하는 데 사용되는 planimeter 로 알려진 도구에 적용됩니다. 도면의 표면. 예를 들어 부동산의 레이아웃을 설계 할 때 불규칙한 모양의 화단이나 수영장이 차지하는 면적을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

간단한 닫힌 직사각형 곡선 C 주변의 함수의 이중 적분과 곡선 가장자리를 따라 모서리 점에서 역도 함수 의 선형 조합 사이의 관계를 제공하는 Discrete Green 's Theorem 은 직사각형 영역의 값 합계를 빠르게 계산할 수 있습니다. . 예를 들어, 빠르게 특징을 추출하고 물체를 감지하기 위해 이미지에서 직사각형 도메인의 합을 효율적으로 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 사용할 수있는 또 다른 알고리즘은 합산 영역 테이블 입니다.

의학계에서는 미적분을 이용하여 혈관의 최적 분기 각을 찾아 흐름을 극대화 할 수 있습니다. 신체에서 특정 약물의 제거에 대한 부패 법칙에서 투약 법칙을 도출하는 데 사용됩니다. 핵 의학에서는 표적 종양 치료에서 방사선 전달 모델을 구축하는 데 사용됩니다.

경제학에서 미적분학은 한계 비용 과 한계 수익 을 쉽게 계산할 수있는 방법을 제공하여 최대 이익을 결정할 수있게합니다 .

미적분은 방정식에 대한 대략적인 해를 찾는데도 사용됩니다. 실제로는 대부분의 응용 프로그램에서 미분 방정식을 풀고 근을 찾는 표준 방법입니다. 예를 들면 Newton의 방법 , 고정 소수점 반복 및 선형 근사 와 같은 방법이 있습니다 . 예를 들어, 우주선은 오일러 방법 의 변형을 사용하여 무중력 환경에서 곡선 코스를 근사화합니다.

수년에 걸쳐 미적분학의 많은 재구성이 다양한 목적으로 조사되었습니다.

비표준 미적분

무한 소수를 사용한 부정확 한 계산 은 1870 년대에 시작된 엄격한 (ε, δ)-한계 정의 로 대체되었습니다 . 한편, 무한 소수를 사용한 계산은 지속되었고 종종 올바른 결과를 가져 왔습니다. 이로 인해 Abraham Robinson 은 미적분의 정리가 여전히 유효한 극소량의 수 체계를 개발할 수 있는지 조사했습니다. 1960 년 Edwin Hewitt 와 Jerzy Łoś 의 작업을 기반으로 비표준 분석 을 개발하는 데 성공했습니다 . 비표준 분석 이론은 수학의 많은 분야에 적용될만큼 풍부합니다. 따라서 전통적인 미적분 정리에만 전념하는 책과 기사는 종종 비표준 미적분 이라는 제목으로 사용됩니다 .

부드러운 극소 분석

이 측면에서 미적분의 또 다른 재구성이다 무한소 . FW Lawvere 의 아이디어를 기반으로 범주 이론 의 방법을 사용하여 모든 기능이 연속적 이며 별개의 개체 로 표현할 수없는 것으로 간주 합니다. 이 공식의 한 측면은 배제 된 중간 의 법칙 이이 공식에 적용되지 않는다는 것입니다.

건설적인 분석

구성 수학 은 숫자, 함수 또는 기타 수학적 대상의 존재에 대한 증명이 대상의 구성을 제공해야한다고 주장하는 수학의 한 분야입니다. 그러한 건설적인 수학은 또한 중간 배제 의 법칙을 거부합니다 . 건설적 틀에서 미적분학의 재구성은 일반적으로 건설적 분석 의 주제의 일부입니다 .

기울기

• 미적분학 용어
• 미적분 주제 목록
• 대체 미적분의 미분 및 적분 목록
• 차별화 정체성 목록
• 미적분학 출판물
• 적분 표

기타 관련 주제

• 유한 차분의 미적분
• 다항식이있는 미적분
• 복잡한 분석
• 미분 방정식
• 미분 기하학
• 초등 미적분 : 무한한 접근 방식
• 이산 미적분
• 푸리에 급수
• 적분 방정식
• 수학적 분석
• 다 변수 미적분
• 비 고전적 분석
• 비표준 분석
• 비표준 미적분
• 미적분학 ( 수학 교육 )
• 제품 통합
• 확률 적 미적분
• 테일러 시리즈

서적

온라인 도서

• "Calculus" , 수학 백과 사전 , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Calculus" . MathWorld .
• PlanetMath의 미적분 에 관한 주제 .
• Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson PDF의 전체 텍스트
• 미적분 에서 의 우리 시간 상기 BBC
• Calculus.org : 데이비스 캘리포니아 대학교의 미적분 페이지 – 리소스와 다른 사이트에 대한 링크 포함
• COW : Temple University 의 웹 미적분 – 사전 미적분 및 관련 대수에 이르는 다양한 리소스가 포함되어 있습니다.
• 일부 수학 단어의 가장 초기에 알려진 사용 : 미적분 및 분석
• Wolfram Research의 온라인 통합 자 (WebMathematica)
• ERICDigests.org의 대학 수학 에서 미적분의 역할
• Massachusetts Institute of Technology 의 OpenCourseWare Calculus
• Infinitesimal Calculus  – Encyclopedia of Mathematics , ed 의 역사적 발전에 관한 기사 . Michiel Hazewinkel .
• MIT, Daniel Kleitman. "초보자와 예술가를위한 계산" .
• DA Kouba의 미적분 문제 및 솔루션
• 미적분에 대한 Donald Allen의 메모
• imomath.com의 미적분 교육 자료
• (영어 및 아랍어) The Excursion of Calculus , 1772