원추형 섹션

원추형 섹션은 수천 년 동안 연구되어 왔으며 유클리드 기하학 에서 흥미롭고 아름다운 결과의 풍부한 소스를 제공했습니다 .

정의

색상 영역의 검은 색 경계는 원추형 섹션입니다. 쌍곡선의 나머지 절반은 이중 원뿔의 나머지 절반에 표시되지 않습니다.

코닉는 (A)의 교점 얻어지는 곡선 면 착신, 절단면 이중의 표면과, 콘 (2 개와 콘 nappes ). 일반적으로 원뿔은 설명을 쉽게하기 위해 오른쪽 원뿔이라고 가정하지만 필수 사항은 아닙니다. 원형 횡단면이있는 이중 원뿔이면 충분합니다. 원뿔의 정점을 통과하는 평면은 점, 선 또는 한 쌍의 교차 선에서 원뿔과 교차합니다. 이를 퇴화 원뿔 이라고 하며 일부 저자는 원뿔로 간주하지 않습니다. 달리 명시되지 않는 한,이 기사에서 "원추형"은 퇴화되지 않는 원뿔형을 나타냅니다.

원뿔에는 타원 , 포물선 및 쌍곡선 의 세 가지 유형이 있습니다 . 원은 역사적으로 아폴로는 네 번째 유형으로 간주되지만, 타원의 특별한 종류이다. 원뿔과 평면의 교차점이 닫힌 곡선 일 때 타원이 발생 합니다 . 원은 절단면이 원뿔의 생성 원의 평면과 평행 할 때 얻어집니다. 오른쪽 원추의 경우 절단면이 축에 수직임을 의미합니다. 절단 평면이 원뿔의 생성 선 하나와 정확히 평행 하면 원뿔은 경계가 없으며 포물선 이라고합니다 . 나머지 경우 그림은 쌍곡선입니다 . 평면 은 원뿔의 양쪽 절반을 교차 하여 두 개의 별도의 무한 곡선을 생성합니다.

편심, 초점 및 방향성

타원 ( e = 1/2), 포물선 ( e = 1) 및 쌍곡선 ( e = 2) , 고정 초점 F 및 directrix ( e = ∞). 빨간색 원 ( e = 0)은 참조 용으로 포함됩니다. 그것은 비행기에 directrix가 없습니다.

또는 평면 형상의 관점에서 원추형 섹션을 정의 할 수 있습니다 . 고정 된 지점 F 까지의 거리 ( 초점 이라고 함 )가 P 로부터의 거리 의 상수 배수 ( 편심 률 e 라고 함) 인 모든 지점 P 의 궤적 입니다. 고정 라인 L ( directrix 라고 함 )에. 들면 0 < E <1 우리는에 대해 타원을 구 E = 1 포물선 및 대 E > 1 쌍곡선.

원은 제한적인 경우이며 유클리드 평면에서 초점과 방향으로 정의되지 않습니다. 원의 이심률은 0으로 정의되고 초점은 원의 중심이지만 방향성은 투영면에서 무한대의 선으로 만 취할 수 있습니다. ^[2]

타원의 편심은 타원이 원형에서 얼마나 멀리 벗어나는지 측정하는 것으로 볼 수 있습니다. ^{[3] : 844}

원뿔 표면과 축 사이의 각도가 ${\ displaystyle \ beta}$ 절단면과 축 사이의 각도는 ${\ displaystyle \ alpha,}$편심은 ^[4] ${\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}.}$

focus-directrix 속성에 의해 정의 된 위의 곡선 이 원뿔을 교차하는 평면에서 얻은 곡선 과 동일 하다는 증거 는 Dandelin 구를 사용하여 촉진됩니다 . ^[5]

대안으로, 타원은 두 초점에 대한 거리의 합이 2 a 인 점의 궤적으로서 두 초점 점으로 정의 될 수 있습니다 . 쌍곡선은 거리의 차이가 2 a 인 궤적입니다 . (여기서 a 는 아래에 정의 된 반장 축입니다.) 포물선은 초점과 위도 직장 선 (직접 선에 평행하고 초점을 통과)으로 정의 할 수도 있습니다. 포물선은 초점을 통과하는 지점의 궤적입니다. 초점 플러스 또는 마이너스 선까지의 거리는 2 a 와 같습니다 . 점이 직근과 latus 직장 사이에 있으면 플러스, 그렇지 않으면 마이너스.

원추형 매개 변수

타원의 경우 원추형 매개 변수

편심 ( e ), 초점 및 정방향 외에도 다양한 기하학적 특징 및 길이가 원추형 단면과 연관됩니다.

주축은 타원형 또는 쌍곡선의 초점을 연결하는 선이며, 그 중간의 곡선이다 센터 . 포물선에는 중심이 없습니다.

이심률 ( C는 ) 중심과 중심 사이의 거리이다.

LATUS 직장은 은 IS 코드 준선과 중심을 통과하는 평행; 절반 길이는 반란 근 ( ℓ )입니다.

초점 파라미터 ( P은 ) 대응 준선에 초점으로부터의 거리이다.

주요 축이 타원의 긴 코드, 쌍곡선의 지점 사이의 최단 코드 : 두 정점 사이의 코드입니다. 절반 길이는 반장 축 ( a )입니다. 타원 또는 쌍곡선이 아래 방정식과 같이 표준 위치에 있고 초점이 x 축에 있고 중심이 원점에있을 때 원뿔의 꼭지점은 좌표 (− a , 0) 및 ( a , 0)을 갖 습니다 . 음수가 아닙니다.

보조 축은 타원형의 최단 직경이며, 그 길이가 절반 세미 마이너 축이다 ( B )와 동일한 값 B 이하 표준 방정식있다. 유사하게 쌍곡선의 경우 표준 방정식 의 매개 변수 b 를 반 단축이라고도합니다.

다음 관계가 유지됩니다. ^[6]

• ${\ displaystyle \ \ ell = pe}$
• ${\ displaystyle \ c = ae}$
• ${\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}}$

표준 위치의 원뿔형의 경우 이러한 매개 변수는 다음 값을 갖습니다. ${\ displaystyle a, b> 0}$.

원추형 섹션	방정식	편심 ( e )	선형 편심 ( c )	반란 근 직장 ( ℓ )	초점 매개 변수 ( p )
원	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle a \,}$	${\ displaystyle \ infty}$
타원	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1-{\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}}$
포물선	${\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \,}$	${\ displaystyle 1 \,}$	N / A	${\ displaystyle 2a \,}$	${\ displaystyle 2a \,}$
쌍곡선	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}-{\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$

데카르트 좌표의 표준 형식

타원의 표준 형태

포물선의 표준 형태

쌍곡선의 표준 형태

데카르트 좌표를 도입 한 후 , focus-directrix 속성을 사용하여 원뿔 단면의 점으로 만족되는 방정식을 생성 할 수 있습니다. ^[7] 좌표 변경 ( 축의 회전 및 변환 )을 통해 이러한 방정식을 표준 형식 으로 만들 수 있습니다 . ^[8] 타원과 쌍곡선의 경우 표준 형식은 x 축을 주축으로하고 원점 (0,0)을 중심으로합니다. 정점은 (± a , 0) 및 초점 (± c , 0) 입니다. 정의 B를 수학 식에 의해 c를 ² = ² - b를 ² 타원 및 c를 ² = ² + B ² 쌍곡선 대한. 원의 경우 c = 0 이므로 a ² = b ² 입니다. 포물선의 경우 표준 형식은 점 ( a , 0) 에서 x 축에 초점을 맞추고 방정식 x = − a를 사용 하여 선을 지정 합니다 . 표준 형태에서 포물선은 항상 원점을 통과합니다.

A에 대한 직사각형 또는 등변 쌍곡선 그 수직 점근선 번, 점근선 좌표축 및 광고되는 대체 표준 형태가 X = Y가 주축이있다. 초점은 좌표 ( c , c ) 및 (− c , − c ) 를 갖습니다 . ^[9]

• 원 : x ² + y ² = a ²
• 타원: x ²/a ² + y ²/b ² = 1
• 포물선 : y ² = 4 ax , a > 0
• 쌍곡선 : x ²/a ² − y ²/b ² = 1
• 직사각형 쌍곡선 : ^[10] xy = c ²/2

이러한 형태 중 처음 4 개는 x 축과 y 축 (원, 타원 및 쌍곡선의 경우) 또는 x 축 (포물선의 경우)에 대해서만 대칭 입니다. 그러나 직사각형 쌍곡선은 대신 y = x 및 y = − x 선에 대해 대칭 입니다.

이러한 표준 양식은 다음 과 같이 매개 변수 로 작성할 수 있습니다 .

• 원 : ( a cos θ , a sin θ ) ,
• 타원 : ( a cos θ , b sin θ ) ,
• 포물선 : ( at ² , 2 at ) ,
• 쌍곡선 : ( a sec θ , b tan θ ) 또는 (± a cosh u , b sinh u ) ,
• 직사각형 쌍곡선 :${\ displaystyle (d \, t, {\ frac {d} {t}})}$ 어디 ${\ displaystyle d = {\ frac {c} {\ sqrt {2}}}.}$

일반 데카르트 형식

에서 직교 좌표계 의 그래프 (A)의 이차 방정식 (이있을 수 있지만 두 변수는 원추형 섹션은 항상 축퇴 ^[11] ), 모든 원추형 섹션은 이러한 방식으로 발생한다. 가장 일반적인 방정식은 ^[12]

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}$

모든 계수는 실수 이고 A, B, C 는 모두 0이 아닙니다.

행렬 표기법

위의 방정식은 행렬 표기법으로 ^다음 과 같이 쓸 수 있습니다. ^[13]

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} D & E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {행렬}} \ 오른쪽) + F = 0.}$

일반 방정식은 다음과 같이 작성할 수도 있습니다.

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 1 \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

이 양식은 사영 형상의보다 일반적인 설정에 사용되는 동종 양식의 전문화입니다 ( 아래 참조 ).

판별

이 방정식에 의해 설명 된 원추형 섹션은 값으로 분류 할 수 있습니다. ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$, 방정식 의 판별 자라고합니다. ^[14] 따라서, 상기 판별은 - 4Δ Δ는 은 IS 행렬식 ${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right |.}$

원추형이 퇴화되지 않는 경우 : ^[15]

• 만약 B ² - 4 AC <0 , 방정식은 나타내는 타원 ;
  • 만약 = C 및 B = 0 , 방정식이 나타내는 원 타원의 특별한 경우이다;
• 만약 B ² - 4 AC = 0 , 방정식이 나타내는 포물선 ;
• 만약 B ² - 4 AC > 0 , 방정식이 나타내는 쌍곡선을 ;
  • 만약 + C = 0 , 방정식이 나타내는 직사각형을 쌍곡선 .

여기에 사용 된 표기법에서 A 와 B 는 준 장축과 준 단축을 A 와 B 로 표시하는 일부 소스와 달리 다항식 계수 입니다.

불변

원뿔 섹션의 2 차 방정식 (또는 동등하게 2 × 2 행렬 의 결정자 AC – B ² / 4) 의 판별 B ² – 4 AC 및 수량 A + C ( 2 × 2 행렬 의 추적 )는 아래에서 불변합니다. 좌표축의 임의 회전 및 변환, ^{[15] [16] [17]} 위 의 3 × 3 행렬의 행렬식입니다 . ^{[18] : pp. 60–62} 상수항 F 와 합계 D ² + E ² 는 회전에서만 변하지 않습니다. ^{[18] : 60–62 쪽}

계수 측면의 편심

원추형 섹션이 다음과 같이 대수적으로 쓰여질 때

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0, \,}$

편심은 이차 방정식의 계수의 함수로 쓸 수 있습니다. ^[19] 만일 4 AC = B ² 원추는 포물선과 편심 (는 비축 퇴성 제공된다)을 1과 같다. 그렇지 않으면 방정식이 비 축퇴 쌍곡선 또는 타원을 나타낸다고 가정하면 편심은 다음과 같이 주어진다.

${\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}},}$

여기서, η = 1 의 행렬식 경우 3 × 3 행렬은 상기 부정적이고 η = -1을 그 결정이 긍정적이면.

그것은 또한 보여 질 수있다 ^{[18] : p. 89} 편심이 방정식의 양의 해

${\ displaystyle \ Delta e ^ {4} + [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] e ^ {2}-[(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] = 0, }$

다시 어디 ${\ displaystyle \ Delta = AC-{\ frac {B ^ {2}} {4}}.}$ 포물선이나 타원의 경우 정확히 하나의 양의 해 (편심도)가있는 반면 쌍곡선의 경우에는 두 개의 양의 해가 있으며 그중 하나는 편심입니다.

표준 형식으로 변환

타원 또는 쌍곡선의 경우 방정식

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 \,}$

변환 된 변수에서 표준 형식으로 변환 가능 ${\ displaystyle {\ 물결표 {x}}, {\ 물결표 {y}}}$등 ^[20]

${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {x}} ^ {2}} {-S / (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2})}} + {\ frac {{\ 물결표 {y}} ^ {2}} {-S / (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} ^ {2})}} = 1,}$

또는 동등하게

${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {x}} ^ {2}} {-S / (\ lambda _ {1} \ Delta)}} + {\ frac {{\ tilde {y}} ^ {2 }} {-S / (\ lambda _ {2} \ Delta)}} = 1,}$

어디 ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ 과 ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$행렬 의 고유 값 입니다.${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right)}$ — 즉, 방정식의 해

${\ displaystyle \ lambda ^ {2}-(A + C) \ lambda + (AC- (B / 2) ^ {2}) = 0}$

— 및 ${\ displaystyle S}$위 의 3 × 3 행렬의 행렬식 이고${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$다시 2 × 2 행렬의 행렬식입니다. 타원의 경우 두 개의 반 축의 제곱은 표준 형식의 분모로 제공됩니다.

극좌표

편심 e가 증가함에 따라 원추형 섹션의 개발

에서 극좌표 번 원점에 집중하고있는 경우, (타원의 경우) 음의 값으로 다른 또는 (쌍곡선 위해) 양의 값에 함께 원뿔 곡선 X 시킴으로써 행한다는 수학 식에 의해 주어진다

${\ displaystyle r = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}},}$

여기서 e 는 편심이고 l 은 반라 투스 직장입니다.

위와 같이 e = 0 의 경우 그래프는 원이고, 0 < e <1 인 경우 그래프는 타원, e = 1 인 경우 포물선, e > 1 인 경우 쌍곡선입니다.

원뿔 방정식의 극형은 역학 에서 자주 사용됩니다 . 예를 들어, 태양을 중심으로 회전하는 물체의 궤도를 결정합니다. ^[21]

속성

두 개의 (고유 한) 점이 선을 결정하는 것처럼 5 개의 점이 원뿔을 결정합니다 . 공식적으로 평면의 5 개 점이 일반 선형 위치 ( 3 개의 동일 선상 없음을 의미 함 )가 주어지면 이를 통과하는 고유 한 원뿔이 있으며 이는 퇴화되지 않습니다. 이것은 유클리드 평면과 그 확장 인 실제 투영 평면 모두에 해당됩니다. 실제로, 5 개의 점이 주어지면 원추형이 통과하지만 점 중 3 개가 동일 선상에 있으면 원뿔형이 퇴화되고 (선을 포함하므로 축소 가능) 고유하지 않을 수 있습니다. 추가 논의를 참조하십시오 .

일반적인 선형 위치에서 평면의 4 개 점은 처음 세 점을 통과하고 네 번째 점을 중심으로하는 고유 한 원추형을 결정합니다. 따라서 중심을 아는 것은 곡선을 결정하기 위해 원추형의 두 점을 아는 것과 같습니다. ^[22]

또한 원추형은 통과하는 일반적인 위치 의 k 점과 이에 접하는 5 – k 선 (0≤ k ≤5)의 조합에 의해 결정됩니다 . ^[23]

평면의 모든 점은 원추형의 접선이 0 개, 1 개 또는 2 개 입니다. 하나의 접선에있는 점이 원추형에 있습니다. 접선이없는 점 은 원추형 의 내부 점 (또는 내부 점 )이고 두 접선의 점은 외부 점 (또는 외부 점 )이라고합니다.

모든 원추형 섹션 은 다음과 같이 표현할 수 있는 반사 특성 을 공유합니다 . 비 퇴화 원뿔형 섹션 모양의 모든 거울은 한 초점에서오고가는 빛을 다른 초점쪽으로 또는 멀어지게 반사합니다. 포물선의 경우 두 번째 초점은 무한히 멀리 떨어져있는 것으로 간주하여 두 번째 초점을 향하거나 오는 광선이 평행하도록해야합니다. ^{[24] [25]}

파스칼의 정리 는 퇴화되지 않는 원추형의 6 개 점 집합으로 구성된 3 개 점의 공선 성과 관련됩니다. 이 정리는 두 줄로 구성된 퇴행 원뿔 곡선에도 적용되지만이 경우 Pappus 정리라고 합니다.

퇴화되지 않는 원추형 섹션은 항상 " 부드럽습니다 ". 이것은 층류 를 보장 하고 난류 를 방지 하기 위해 매끄러운 표면이 필요한 공기 역학과 같은 많은 응용 분야에서 중요합니다 .

Menaechmus와 초기 작품

원추형 섹션의 첫 번째 정의 는 Delian 문제 ( 큐브 복제 )의 일부로 Menaechmus (BCE 320 년 사망)에 의해 제공되었다고 믿어집니다 . ^{[26] [27]} 그의 작업은 그가이 곡선에 사용한 이름조차도 살아남지 못했고, 이차적 인 설명을 통해서만 알려졌습니다. ^[28] 오늘날 일반적으로 사용되는 하나의 시간의 상이에 사용되는 정의. 원뿔은 다리 중 하나를 중심으로 직각 삼각형을 회전시켜 빗변이 원뿔의 표면을 생성하도록 만들어졌습니다 (이러한 선을 모선 이라고 함 ). 세 가지 유형의 원뿔은 정점 각도로 결정되었습니다 (빗변과 다리가 직각 삼각형에서 회전하는 각도의 두 배로 측정 됨). 원뿔 단면은 모선에 수직으로 그려진 평면과이 원뿔 중 하나를 교차하여 결정되었습니다. 원뿔의 유형은 원뿔의 유형, 즉 원뿔의 꼭지점에 형성된 각도에 의해 결정됩니다. 각도가 예각이면 원뿔은 타원입니다. 각도가 맞으면 원뿔은 포물선입니다. 각도가 둔한 경우 원뿔 곡선은 쌍곡선 (곡선의 한 가지만)입니다. ^[29]

Euclid (fl. 300 BCE)는 원뿔 곡선에 관한 4 권의 책을 썼다고하지만 이것들도 사라졌습니다. ^[30] Archimedes (기원전 212 년경 사망)는 Quadrature of the Parabola 에서 포물선과 화음으로 둘러싸인 면적을 결정한 원뿔 곡선을 연구 한 것으로 알려져 있습니다 . 그의 주된 관심은 원뿔 곡선과 관련된 그림의 면적과 부피를 측정하는 데 있었으며이 작업의 일부는 원뿔형, 원뿔형 및 스페 로이드 의 고체에 관한 그의 저서에서 살아 남았습니다 . ^[31]

페르가의 아폴로니우스

9 세기 아랍어 번역의 Apollonius의 Conics 다이어그램

고대 그리스인의 원뿔 곡선 연구에서 가장 큰 진전 은 페르 가의 아폴로니우스 (기원전 190 년경 사망 )로 인해 8 권의 원뿔 곡선 또는 원뿔 곡선이 기존 지식을 요약하고 크게 확장했습니다. ^[32] 이 곡선의 특성에 대한 Apollonius의 연구를 통해 각도에 관계없이 고정 이중 원뿔 (두 개의 기모)을 절단하는 모든 평면이 이전 정의에 따라 원뿔을 생성하여 일반적으로 사용되는 정의로 이어진다는 것을 보여줄 수있었습니다. 오늘. 이전 방법으로 구성 할 수없는 원도 이러한 방식으로 얻을 수 있습니다. 이것은 Apollonius가 원을 더 이상 구별되지 않는 네 번째 유형의 원추형 섹션으로 간주 한 이유를 설명 할 수 있습니다. Apollonius 는 이러한 곡선에 대해 타원 , 포물선 및 쌍곡선 이라는 이름을 사용하여 영역에 대한 초기 피타고라스 작업에서 용어를 차용했습니다. ^[33]

알렉산드리아의 파 푸스 (서기 350 년경 사망)는 원뿔의 초점 개념의 중요성에 대해 설명하고 포물선의 경우 (아폴로니우스의 알려진 작품에는 부족함)를 포함하여 직접적 관련 개념을 자세히 설명하는 것으로 알려져 있습니다. ^[34]

알 쿠히

원추형 섹션을 그리는 도구는 이슬람 수학자 Al-Kuhi에 의해 CE 1000 년에 처음으로 설명되었습니다 . ^{[35] : 30 [36]}

오마르 카이 얌

Apollonius의 작품은 아랍어로 번역되었으며 그의 작품 대부분은 아랍어 버전을 통해서만 남아 있습니다. 페르시아인 이론의 적용, 특히 페르시아 발견 ^[37] 수학자 시인 오마르 하이 얌 해결 기하학적 방법 발견 차 방정식 원뿔 곡선을 사용한다. ^{[38] [39]}

유럽

Johannes Kepler 는 한계 개념의 선구자 인 " 연속성 원리 "를 통해 원뿔 이론을 확장했습니다 . Kepler 는 1604 년에 foci 라는 용어를 처음 사용했습니다. ^[40]

Girard Desargues 와 Blaise Pascal 은 초기 형태의 투영 기하학을 사용하여 원뿔 이론을 개발했으며 , 이것은이 새로운 분야의 연구를 촉진하는 데 도움이되었습니다. 특히 파스칼 은 원뿔의 다른 많은 속성을 추론 할 수있는 hexagrammum mysticum 으로 알려진 정리를 발견했습니다 .

René Descartes 와 Pierre Fermat는 둘 다 새로 발견 된 분석 기하학 을 원뿔 곡선 연구에 적용했습니다 . 이것은 원뿔의 기하학적 문제를 대수 문제로 줄이는 효과가있었습니다. 그러나 1655 년 논문 Tractatus de sectionibus conicis 에서 원추형 섹션을 2 차 방정식의 사례로 처음 정의한 사람 은 John Wallis 였습니다. ^[41] 이전에 작성되었지만 나중에 게시 된 Jan de Witt 의 Elementa Curvarum Linearum 은 Kepler의 원뿔 운동 학적 구성으로 시작 하여 대수 방정식을 개발합니다. Fermat의 방법론과 Descartes의 표기법을 사용하는이 작품은 주제에 대한 첫 번째 교과서로 설명되었습니다. ^[42] 데 위트 용어 발명 준선을 . ^[42]

Archeocyathids 의 포물선 모양은 바위 표면에 원추형 섹션을 생성합니다.

원추형 단면은 천문학 에서 중요 합니다. 뉴턴의 만유 중력 법칙 에 따라 상호 작용하는 두 개의 거대한 물체 의 궤도 는 공통 질량 중심이 정지 된 것으로 간주되는 경우 원뿔형 단면 입니다. 함께 묶인 경우 둘 다 타원을 추적합니다. 멀어지는 경우 둘 다 포물선 또는 쌍곡선을 따릅니다. 2 체 문제 참조 .

원추형 섹션의 반사 특성은 탐조등, 전파 망원경 및 일부 광학 망원경의 설계에 사용됩니다. ^[43] 서치 포커스에서 벌브와 리플렉터로서 포물면 거울을 사용한다; 그리고 유사한 구조가 포물선 형 마이크에 사용 됩니다. 카나리아 제도의 La Palma에 있는 4.2m Herschel 광학 망원경 은 1 차 포물선 거울을 사용하여 2 차 쌍곡선 거울을 향해 빛을 반사하고 첫 번째 거울 뒤의 초점으로 다시 반사합니다.

원추형 단면은 유클리드 평면에서 매우 유사한 속성을 가지고 있으며 원뿔형을 더 큰 기하학의 관점에서 볼 때 그 이유가 더 명확 해집니다. 유클리드 평면은 실제 투영 평면에 내장 될 수 있으며 원뿔은이 투영 기하학에서 물체로 간주 될 수 있습니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 균질 좌표 를 도입 하고 좌표가 3 개의 변수에서 축소 불가능한 2 차 방정식 (또는 동등하게 축소 불가능 2 차 형식 의 0)을 충족하는 점 세트가되도록 원뿔을 정의하는 것 입니다. 좀 더 기술적으로 말하면, 2 차 형태의 0 인 점 세트 (모든 변수에서)를 quadric 이라고하며 2 차원 투영 공간 (즉, 3 개의 변수를 가짐)에있는 비 환원 2 차 를 전통적으로 원뿔이라고합니다.

유클리드 평면 R ² 는 평행 한 클래스의 모든 선이이 선에서 만나도록 무한대에서 선 (및 무한대에서 해당 점)을 인접하여 실제 투영 평면에 포함됩니다 . 반면에 실제 투영면에서 시작하여 일부 선을 무한대 선으로 구분하고 모든 점을 제거하여 유클리드 평면을 얻습니다.

무한대 교차점

분할 링 위의 투영 공간 에서, 특히 실수 또는 복소수에서 모든 비 퇴화 원뿔은 동등하므로 투영 기하학에서는 유형을 지정하지 않고 "원뿔"을 간단히 말합니다. 즉, 비 퇴화 원뿔을 다른 비 퇴화 원뿔에 매핑하는 투영 변환이 있습니다. ^[44]

세 가지 유형의 원추형 섹션은 무한대의 선이되도록 투영 공간의 선을 선택하여 얻은 아핀 평면에 다시 나타납니다. 이 세 가지 유형은 무한대의이 선이 투영 공간에서 원뿔과 교차하는 방식에 따라 결정됩니다. 해당 아핀 공간에서 원추형이 무한대에서 선과 교차하지 않으면 타원을, 원뿔형이 축에 해당하는 한 이중 점 에서 무한대에서 선과 교차하면 포물선을, 원추형이 선과 교차하면 쌍곡선을 얻습니다. 점근선에 해당하는 두 지점에서 무한대. ^[45]

동종 좌표

에서는 동차 좌표 원뿔 부분은 다음과 같이 표현 될 수있다 :

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}$

또는 행렬 표기법

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

위의 3 × 3 행렬을 원추형 섹션의 행렬 이라고 합니다 .

일부 저자는 일반 균질 방정식을 다음과 같이 작성하는 것을 선호합니다.

${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0,}$

(또는 이것의 일부 변형) 원뿔형 섹션의 행렬이 더 간단한 형태를 갖도록

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ right),}$

그러나이 표기법은이 기사에서 사용되지 않습니다. ^[46]

원뿔 곡선 행렬의 행렬식이 0이면 원뿔 곡선 구간은 퇴화 됩니다.

6 개의 계수 모두에 0이 아닌 동일한 스칼라를 곱하면 동일한 0 집합을 갖는 방정식이 생성되므로 ( A , B , C , D , E , F ) 로 표시되는 원뿔 곡선을 5 차원 투영의 점으로 간주 할 수 있습니다. 우주 ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}$

원의 사 영적 정의

유클리드 기하학의 미터법 개념 (길이 및 각도 측정과 관련된 개념)은 실제 투영 평면으로 즉시 확장 될 수 없습니다. ^[47] 그들은 새로운 형상 재정의 (일반화)되어야한다. 이것은 임의의 투영 평면에 대해 수행 할 수 있지만 확장 된 유클리드 평면으로 실제 투영 평면을 얻으려면 몇 가지 특정 선택을해야합니다. ^[48]

절대 선 이라고하는 투영 평면에서 임의의 선을 고정합니다 . 절대 선에서 두 개의 다른 점을 선택하고이를 절대 점이라고 합니다. 이러한 선택 사항을 참조하여 몇 가지 메트릭 개념을 정의 할 수 있습니다. 예를 들면, 포인트가 포함 된 광고 소정 및 B를 상기 중간 선분 AB는 포인트로 정의 C 는 IS 사영 고조파 접합체 의 교점의 AB 에 대하여, 절대 선 및 B .

두 개의 절대 점을 포함하는 투영 평면의 원뿔을 원 이라고합니다 . 5 개의 점이 원뿔 곡선을 결정하므로 원 (퇴화 될 수 있음)은 3 개의 점으로 결정됩니다. 확장 된 유클리드 평면을 얻기 위해 절대 선은 유클리드 평면의 무한대에있는 선으로 선택되고 절대 점은 무한대에 있는 원형 점 이라고하는 해당 선의 두 특수 점입니다 . 실제 좌표가있는 두 점을 포함하는 선은 무한대에서 원형 점을 통과하지 않으므로이 정의에서 유클리드 평면에서 원은 동일 선상 에 있지 않은 세 점에 의해 결정됩니다 . ^{[49] : 72}

유클리드 평면의 원은 focus-directrix 속성으로 정의 할 수 없다고 언급되었습니다. 그러나 무한대의 선을 directrix로 간주하면 편심을 e = 0으로 설정 하면 원이 focus-directrix 속성을 가지지 만 여전히 해당 속성에 의해 정의되지 않습니다. ^[50] 한 올바르게 준선 해당 지점까지의 거리에 초점 (반경 길이)에 원호상의 점까지의 거리의 비로서 편심의 정의를 사용하는 것이이 문제에주의해야한다 (이 거리 무한) 제한 값 0을 제공합니다.

Steiner의 투영 원뿔 정의

원추형 섹션의 Steiner 생성 정의

1867 년 Jakob Steiner 는 투영면에서 원뿔 단면을 정의 하는 합성 (좌표없는) 접근 방식을 제공했습니다 .

• 두 개의 연필이 주어짐 ${\ displaystyle B (U), B (V)}$ 두 지점에서 라인 수 ${\ displaystyle U, V}$ (포함하는 모든 줄 ${\ displaystyle U}$ 과 ${\ displaystyle V}$resp.) 및 투영 적이지만 원근 매핑은 아닙니다.${\ displaystyle \ pi}$ 의 ${\ displaystyle B (U)}$ 위에 ${\ displaystyle B (V)}$. 그런 다음 해당 선의 교차점은 퇴화되지 않는 투영 원추형 단면을 형성합니다. ^{[51] [52] [53] [54]}

관점 매핑${\ displaystyle \ pi}$ 연필 ${\ displaystyle B (U)}$ 연필에 ${\ displaystyle B (V)}$해당 선이 고정 된 선에서 교차 하는 이등분 (1-1 대응)입니다.${\ displaystyle a}$, 원근 의 축 이라고합니다.${\ displaystyle \ pi}$.

투영 매핑 관점 매핑의 유한 순서입니다.

필드 ( pappian plane ) 위의 투영 평면에서 투영 매핑은 두 점 외에 원뿔 섹션의 Steiner 생성에 대해 ^[55] 세 줄의 이미지를 지정하여 고유하게 결정됩니다.${\ displaystyle U, V}$3 줄의 이미지 만 제공하면됩니다. 이 5 개 항목 (2 점, 3 선)은 원추형 단면을 고유하게 결정합니다.

선 원뿔

바이 이중성 원리 사영 평면의 각 점은 이중 호출 라인과 포인트의 궤적 (일부 조건을 만족하는 점들의 집합)의 듀얼 인 봉투 라인을. Steiner의 원추형 정의 (이 점의 궤적은 이제 점 원추형 이라고 함 )를 두 개의 관련 연필의 해당 광선의 만남으로 사용하면 쉽게 이중화하고 해당 점의 결합으로 구성된 해당 엔벨로프를 얻을 수 있습니다. 서로 다른 기준 (점이있는 선)에있는 두 개의 관련 범위 (선상의 점). 이러한 엔벨로프를 라인 원추 (또는 이중 원추 )라고합니다.

실제 투영 평면에서 점 원추형은 모든 선이 두 점에서 만나는 속성을 가지며 (일치하거나 복잡 할 수 있음)이 속성을 가진 모든 점 집합은 점 원추형입니다. 선 원뿔에는 모든 점을 통과하는 두 개의 선이 있고이 속성을 가진 선의 봉투는 선 원뿔입니다. 포인트 원뿔의 모든 지점에서 고유 접선가 있고, 이중, 원뿔 라인의 모든 라인에 독특한 포인트가 전화가 접점을 . 중요한 정리는 점 원뿔의 접선이 선 원뿔을 형성하고 이중으로 선 원뿔의 접점이 점 원뿔을 형성한다고 말합니다. ^{[56] : 48–49}

Von Staudt의 정의

Karl Georg Christian von Staudt 는 원뿔을 절대 점을 가진 극성 의 모든 절대 점에 의해 주어진 점으로 정의했습니다 . Von Staudt는 투영 기하학에서 모든 미터법 개념을 제거하려는 시도의 일환으로 Geometrie der Lage (1847) 에서이 정의를 도입했습니다 .

극성 , π , 사영 평면의 P (두 순서, 즉)는 거듭 제곱 인 전단 사 함수 점과의 사이의 라인 P 그 보존 입사 관계 . 따라서, 극성이 점에 관한 Q 광고와 Q 따르고, Gergonne를 , Q는 호출되는 극성 의 Q 및 Q 극 의 Q를 . ^[57] 절대 점 ( 선 극성의)은 그 극성 (극)으로 입사되는 것이다. ^[58]

실제 투영 평면의 von Staudt 원뿔은 Steiner 원뿔 과 동일합니다 . ^[59]

건축

직선 모서리와 나침반으로 원추형의 연속 호를 만들 수 없습니다. 그러나 호의 개별 점 수에 관계없이 직선 및 나침반 구조가 여러 개 있습니다.

그중 하나는 파스칼 정리의 역을 기반으로합니다. 즉, 육각형의 반대쪽 교차점이 동일 선상에 있으면 6 개의 정점이 원추형에 놓입니다. 특히, 5 점, 주어진 , B , C , D , E 및 통과하는 선 E를 말한다 EG , 점 F 다섯 개 가지 포인트에 의해 결정되는 원추형의이 라인에 놓여이고이 구성 될 수있다. 하자 AB 충족 드 에서 L , BC 충족 EG 의 M을 하고하자 CD 대회 LM을 에서 N . 그런 다음 AN 은 필요한 지점 F 에서 EG 를 만납니다 . ^{[60] : 52–53} E를 통과하는 선을 변경 하여 원뿔형에 원하는만큼 추가 지점을 만들 수 있습니다.

타원 생성을위한 평행 사변형 방법

Steiner의 구조를 기반으로하고 엔지니어링 응용에 유용한 또 다른 방법은 평행 사변형 방법으로 , 원뿔은 수평선과 수직선에서 일정한 간격의 특정 점을 연결하여 점별로 구성됩니다. ^[61] 즉, 식 타원을 구성x ²/a ² + y ²/b ²= 1 , 먼저 정점 A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (− a , 2 b ) 및 D (− a , 0)로 사각형 ABCD 를 구성합니다 . 측면 BC 를 n 개의 동일한 세그먼트 로 나누고 대각선 AC에 대해 평행 투영을 사용 하여 측면 AB 에 동일한 세그먼트를 형성합니다 (이 세그먼트의 길이는비/ㅏBC 에있는 세그먼트 길이의 곱하기 ). 측면 BC 에서 세그먼트의 왼쪽 끝점에 A ₁ ~ A _n 을 B 에서 시작하여 C 방향으로 표시 합니다. 측면 AB 레이블 에서 A 에서 시작하여 B 쪽으로 향하는 상단 끝점 D ₁ ~ D _n . 1 ≤ i ≤ n에 대한 교차점 AA _i ∩ DD _i 는 A 와 P (0, b ) 사이의 타원 점이됩니다 . 라벨링은 A 를 통과 하는 연필 의 선과 D를 통과하는 연필의 선을 원근이 아닌 투영 적으로 연결합니다. 원뿔 곡선은 세 점 A , D 및 P 와 두 개의 접선 ( A 및 D 의 수직선 )이 원뿔 곡선을 고유하게 결정 하므로이 구성에 의해 얻어집니다 . 타원의 장축 및 단축 대신 다른 지름 (및 켤레 지름)을 사용하는 경우 직사각형이 아닌 평행 사변형이 구성에 사용되어 메서드 이름이 제공됩니다. 연필 선의 연결을 확장하여 타원의 다른 점을 얻을 수 있습니다. 쌍곡선 ^[62] 과 포물선 ^{[63]의 구조} 는 비슷합니다.

또 다른 일반적인 방법은 극성 속성을 사용하여 원뿔 (선 원뿔)의 접선 엔벨로프를 구성합니다. ^[64]

복잡한 평면 C ² 에서 타원과 쌍곡선은 구별되지 않습니다. 쌍곡선을 가상 축 길이를 가진 타원으로 간주 할 수 있습니다. 예를 들어, 타원${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ 대체 하에서 쌍곡선이된다 ${\ displaystyle y = iw,}$ 기하학적으로 복잡한 회전, 항복 ${\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1}$. 따라서 타원 / 쌍곡선과 포물선의 양방향 분류가 있습니다. 곡선을 복잡한 투영 평면으로 확장 하는 것은 두 개의 다른 점 (두 점근선에 해당) 또는 1 개의 이중 점 (포물선의 축에 해당) 에서 무한대 로 선 을 교차 하는 것에 해당합니다. 따라서 실제 쌍곡선은 무한대에서 선과 2 (실제) 교차점이 있기 때문에 복잡한 타원 / 쌍곡선에 대해 더 암시적인 실제 이미지입니다.

복잡한 투영면 CP ² 에서 추가 통합이 발생합니다 . 비축 퇴 원뿔 곡선은 투영 선형 변환에 의해 다른 것으로 가져갈 수 있기 때문에 서로 구별 할 수 없습니다 .

CP ² 에서 두 개의 원추형 섹션에는 4 개의 공통점이 있으므로 (하나가 다중성을 설명하는 경우 ) 1-4 개의 교차점 이 있음을 증명할 수 있습니다 . 교차 가능성은 다음과 같습니다. 4 개의 개별 점, 2 개의 단일 점 및 1 개의 이중 점, 2 개의 이중 점, 1 개의 단일 점 및 1 개의 다중성 3, 1 개의 다중도 4의 교차점 중 다중도가 1보다 큰 경우 2 개의 곡선이 표시됩니다. 되어야 접선 . 다중도의 교차점이 3 개 이상이면 두 곡선은 오스카 레이팅 이라고합니다 . 다중도가 4 인 교차점이 하나만있는 경우 두 곡선은 초 경합 이라고합니다 . ^[65]

또한 각 직선 은 각 원추형 섹션을 두 번 교차합니다. 교차점이 이중이면 선은 접선 입니다. 무한대에서 선과 교차하는 각 원추형 섹션에는 무한대에서 두 개의 점이 있습니다. 이 점이 실제이면 곡선은 쌍곡선입니다 . 가상 켤레 인 경우 타원입니다 . 이중 점이 하나뿐이면 포물선 입니다. 무한대의 점이 순환 점 (1, i , 0) 및 (1, – i , 0) 이면 원추형 섹션은 원 입니다. 원추형 단면의 계수가 실수 인 경우 무한대의 점은 실수 또는 복소 켤레 입니다.

원추형 의 퇴화 사례 로 간주해야하는 것은 사용되는 정의와 원뿔형 단면의 기하학적 설정에 따라 다릅니다. 원추형을 2 차원 비 퇴화 성 2 차원으로 정의하는 일부 저자가 있습니다. 이 용어에는 퇴화 원뿔 곡선이 없지만 (단지 퇴화 사각형 만) 우리는 더 전통적인 용어를 사용하고 그 정의를 피할 것입니다.

유클리드 평면에서 기하학적 정의를 사용하면 절단 평면이 원뿔 의 정점 을 통과 할 때 퇴화되는 경우가 발생합니다 . 퇴화 원뿔은 다음 중 하나입니다. 평면이 정점에서만 원뿔과 교차 할 때 점 , 직선은 , 평면이 원추 접하게되면 (이는 원추 정확히 하나 개의 발전기를 포함); 또는 한 쌍의 교차 선 (원뿔 생성기 2 개). ^[66] 타원, 포물선의 형태 제한 및 쌍곡선 각각이 대응한다.

유클리드 평면의 원뿔이 2 차 방정식 (즉, 2 차 방정식)의 0으로 정의되는 경우 퇴화 원뿔은 다음과 같습니다. 빈 집합 , 점 또는 평행 할 수있는 선 쌍, 교차 한 지점에서 또는 일치합니다. 빈 집합 케이스는 방정식과 같이 복잡한 켤레 평행선 쌍에 해당 할 수 있습니다.${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0,}$또는 등식과 같은 허수 타원 에${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0.}$허수 타원은 퇴화 의 일반적인 정의를 충족하지 않으므로 일반적으로 퇴화 된 것으로 간주되지 않습니다. ^[67] 두 줄 경우가 발생하면 2 개 개의 선형 요소에 차식 인자, 각 라인을주는 제로. 인자가 동일한 경우 해당 선이 일치하고 선을 이중선 ( 다중도가 2 인 선 )이라고하며 접선 절단면의 이전 사례입니다.

실제 사 영면에서는 평행선이 무한한 선의 한 점에서 만나기 때문에 유클리드 평면의 평행선 케이스는 교차 선으로 볼 수 있습니다. 그러나 교차점이 원뿔의 정점이므로 원뿔 자체는 원통으로 , 즉 정점이 무한대로 퇴화됩니다 . 이 경우 다른 섹션을 원통형 섹션 이라고 합니다 . ^[68] 비 변성 원통형 섹션 타원 (또는 원)이다.

복잡한 투영 평면의 관점에서 볼 때 실제 2 차 방정식의 퇴화 사례 (즉, 2 차 방정식에 실제 계수가 있음)는 모두 한 쌍의 선으로 간주 될 수 있으며 일치 할 수 있습니다. 빈 집합은 이중선으로 간주되는 무한대의 선일 수 있으며, (실제) 점은 두 개의 복잡한 켤레 선과 앞서 언급 한 다른 경우 의 교차점입니다 .

행렬 표기법을 사용하여 퇴행성 사례와 퇴행하지 않는 사례 (후자의 빈 집합 포함)를 구별하기 위해 β를 원뿔 곡선 섹션의 3 × 3 행렬의 행렬식, 즉 β = ( AC − B ²/4) F + 침대 - CD ² - AE ²/4; 그리고 α = B ² − 4 AC를 판별 자로 하자 . 그러면 원추형 섹션은 β ≠ 0 인 경우에만 퇴화되지 않습니다 . 경우 β는 0 = 우리는이 시점 α <0 인 경우, 두 개의 평행 한 라인 (아마도 일치)를 α = 0 , 또는 두 라인의 교차 α > 0을 . ^[69]

(비 변성) 원뿔은 평면 에서 일반적인 위치 (3 개의 동일 선상 없음 )에있는 5 개의 점 에 의해 완전히 결정되며 고정 된 4 개의 점 세트 (다시 평면에서 3 개의 동일 선상 없음)를 통과하는 원뿔 계가 호출됩니다. 원뿔 의 연필 . ^{[70] : 64} 네 가지 공통점을 연필의 기준점 이라고합니다 . 기준점 이외의 점을 통해 연필 원추형 하나를 통과합니다. 이 개념 은 원 의 연필을 일반화합니다 . ^{[71] : 127}

두 변수에있는 두 개의 2 차 방정식 시스템에 대한 해는 두 일반 원추형 섹션의 교차점 좌표로 볼 수 있습니다. 특히 두 개의 원뿔형은 일치하는 교차점을 갖지 않거나 두 개 또는 네 개의 교차점을 가질 수 있습니다. 이러한 솔루션을 찾는 효율적인 방법은 원뿔형 섹션 의 균일 한 매트릭스 표현 , 즉 6 개의 매개 변수에 의존 하는 3 × 3 대칭 매트릭스 를 활용합니다.

교차점을 찾는 절차는 다음 단계를 따릅니다. 여기서 원뿔은 행렬로 표현됩니다. ^[72]

• 두 개의 원뿔이 주어지면 ${\ displaystyle C_ {1}}$ 과 ${\ displaystyle C_ {2}}$, 선형 조합으로 주어진 원뿔의 연필을 고려하십시오. ${\ displaystyle \ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}.}$
• 동종 매개 변수 식별 ${\ displaystyle (\ lambda, \ mu)}$연필의 퇴화 원뿔에 해당합니다. 이것은 다음과 같은 조건을 부과함으로써 수행 될 수 있습니다.${\ displaystyle \ det (\ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}) = 0}$ 및 해결 ${\ displaystyle \ lambda}$ 과 ${\ displaystyle \ mu}$. 이것들은 3 차 방정식의 해로 밝혀졌습니다.
• 퇴화 원뿔이 주어지면 ${\ displaystyle C_ {0}}$, 그것을 구성하는 두 개의 선을 확인하십시오.
• 식별 된 각 선을 두 개의 원래 원뿔 중 하나와 교차합니다. 이 단계는 이중 원뿔 표현을 사용하여 효율적으로 수행 할 수 있습니다.${\ displaystyle C_ {0}}$
• 교차점은 초기 방정식 시스템에 대한 해를 나타냅니다.

원뿔은 다른 필드 (즉, 다른 pappian 기하학에서 ) 위에 정의 될 수 있습니다 . 그러나 필드에 특성 2가있는 경우 일부 수식을 사용할 수 없으므로 주의해야합니다 . 예를 들어, 위에서 사용 된 행렬 표현 은 2로 나누기가 필요합니다.

투영 평면에서 비축 퇴 원뿔 곡선의 일반화는 타원형 입니다. 타원은 원뿔 모양으로 유지되는 다음 속성을 가진 점 집합입니다. 1) 임의의 선이 하나 또는 두 개의 점에서 타원과 교차하지 않음, 2) 타원의 모든 점에서 고유 한 접선이 있습니다.

두 개 이상의 초점이있는 경우 원뿔의 초점 속성을 일반화하면 일반화 된 원뿔 이라는 세트가 생성 됩니다.

타원, 포물선 및 쌍곡선으로의 분류는 수학에서 널리 퍼져 있으며 종종 필드를 뚜렷하게 구별되는 하위 필드로 나눕니다. 분류는 주로 2 차 형식의 존재로 인해 발생하지만 (두 변수에서 이는 관련 판별 자에 해당) 편심에 해당 할 수도 있습니다.

2 차 형식 분류 :

2 차 형태

실수에 대한 2 차 형식은 실베스터의 관성 법칙 , 즉 양의 지수, 0 색인 및 음의 색인에 의해 분류됩니다 . n 변수 의 2 차 형식은 다음 과 같이 대각선 형식 으로 변환 될 수 있습니다. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} -x_ {k + 1} ^ {2}-\ cdots -x_ {k + \ ell} ^ {2},}$여기서 +1 계수의 수 k 는 양의 지수, −1 계수의 수 ℓ 는 음의 지수, 나머지 변수는 제로 지수 m 이므로 ${\ displaystyle k + \ ell + m = n.}$ 두 변수에서 0이 아닌 2 차 형식은 다음과 같이 분류됩니다.

• ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ – 타원에 해당하는 양의 정의 (음수도 포함됨),
• ${\ displaystyle x ^ {2}}$ – 퇴화, 포물선에 대응
• ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ – 무한, 쌍곡선에 해당합니다.

두 변수에서 2 차 형태는 원뿔과 유사하게 판별에 의해 분류되지만 더 높은 차원에서 더 유용한 분류는 한정, (모두 양수 또는 모두 음수), 퇴화, (일부 0) 또는 무한 (양수와 음수 혼합)입니다. 0 없음). 이 분류는 뒤에 오는 많은 것의 기초가됩니다.

곡률

표면 의 가우스 곡률 은 극소 기하학을 설명하며, 각 지점에서 양의 타원 기하학 , 0- 유클리드 기하학 (평면, 포물선) 또는 음의 쌍곡선 기하학 일 수 있습니다 . 무한하게, 2 차 표면은 그래프처럼 보입니다. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$${\ displaystyle x ^ {2}}$ (또는 0), 또는 ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$. 실제로 균일화 정리에 의해 모든 표면은 전체적으로 (모든 지점에서) 양의 곡선, 편평 또는 음의 곡선으로 간주 될 수 있습니다. 더 높은 차원에서 Riemann 곡률 텐서 는 더 복잡한 객체이지만 일정한 단면 곡률을 가진 매니 폴드 는 흥미로운 연구 대상이며 단면 곡률 에서 논의 된 것처럼 현저하게 다른 특성을 가지고 있습니다 .

2 차 PDE

2 차 편미분 방정식 (PDE)은 2 차 항이 타원, 포물선 또는 쌍곡선 2 차 형식에 해당하므로 각 지점에서 타원, 포물선 또는 쌍곡선으로 분류됩니다. 이러한 다른 유형의 PDE의 동작과 이론은 놀랍도록 다릅니다. 대표적인 예는 푸 아송 방정식 이 타원이고 열 방정식 이 포물선이며 파동 방정식 이 쌍곡선이라는 것입니다.

편심 분류 에는 다음이 포함됩니다.

뫼비우스 변형

실제 Möbius 변환 ( PSL 2 ( R ) 또는 2 겹 커버, SL 2 ( R )의 요소 )은 반추 적이이므로 타원, 포물선 또는 쌍곡선으로 분류 됩니다. ${\ displaystyle 0 \ leq | \ operatorname {tr} | / 2 <1,}$${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2 = 1,}$ 또는 ${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2> 1,}$ 편심으로 분류를 미러링합니다.

평균 대비 분산 비율

분산 대 평균 비율은 이산 확률 분포 의 몇 가지 중요한 패밀리를 분류 합니다. 상수 분포는 원형 (편심도 0)으로, 이항 분포 는 타원형으로, 포아송 분포 는 포물선으로, 음 이항 분포 는 쌍곡선으로 분류됩니다. 이것은 일부 불연속 확률 분포의 누적으로 자세히 설명됩니다 .

• circumconic 및 inconic
• Conic Sections Rebellion , Yale 대학생들의 항의
• 디렉터 서클
• 타원 좌표계
• 등거리 세트
• 9 점 원뿔
• 포물선 좌표
• 2 차 함수