실린더

이 섹션의 정의와 결과는 George Wentworth와 David Eugene Smith ( Wentworth & Smith 1913 ) 의 1913 년 텍스트 Plane and Solid Geometry 에서 가져 왔습니다 .

원통면 A는 면 모든 행의 모든 점으로 구성된 병렬 소정 라인과 고정 통과 평면 곡선 평면 주어진 라인에 평행하지. 이 평행선 패밀리의 모든 선을 원통형 표면 의 요소 라고합니다 . A로부터 운동학 착신 평면 곡선 주어진 관점, 준선을 원통형면은 전화 라인에 의해 추적 된 상기 표면 인 모선 준선 통과 항상 자체에 평행하게 이동하지 준선의면에서, . 모선의 특정 위치는 원통형 표면의 요소입니다.

오른쪽과 비스듬한 원통

고체 원통면에 의해 경계 두 평행 한 평면은 A (고체)라고 실린더 . 두 평행 평면 사이의 원통형 표면의 요소에 의해 결정되는 선 세그먼트를 원통의 요소 라고합니다 . 실린더의 모든 요소는 길이가 같습니다. 평행 평면 중 하나에서 원통형 표면으로 경계가 지정된 영역을 원통의 베이스 라고합니다 . 실린더의 두베이스는 합동 숫자입니다. 원통의 요소가 밑면을 포함하는 평면에 수직이면 원통은 오른쪽 원통 이고 그렇지 않으면 비스듬한 원통 이라고합니다 . 염기는 경우 디스크 (그 경계 영역 A는 원형 실린더는 호출) 원형 실린더 . 일부 기본 처리에서 실린더는 항상 원형 실린더를 의미합니다. ^[2]

실린더 의 높이 (또는 고도) 는베이스 사이 의 수직 거리입니다.

평행 한 고정선을 중심으로 선분 을 회전시켜 얻은 원통은 회전 원통입니다 . 회전 실린더는 오른쪽 원형 실린더입니다. 회전 원통의 높이는 생성하는 선 세그먼트의 길이입니다. 세그먼트가 회전하는 선을 원통 의 축 이라고 하며 두베이스의 중심을 통과합니다.

반지름이 r 이고 높이가 h 인 오른쪽 원통

오른쪽 원형 실린더

원통 이라는 용어 는 종종 그림에 표시된 것처럼 축에 수직 인 원형 끝이있는 솔리드 원통, 즉 오른쪽 원통을 나타냅니다. 끝이없는 원통형 표면을 열린 원통 이라고합니다 . 오른쪽 원형 실린더 의 표면적 과 부피 에 대한 공식 은 초기 고대부터 알려져 왔습니다.

오른쪽 원형 원통은 직사각형을 측면 중 하나를 중심으로 회전하여 생성 된 회전 솔리드 로 생각할 수도 있습니다 . 이 실린더는 회전 고체의 부피를 얻기위한 통합 기술 ( "디스크 방법")에 사용됩니다. ^[삼]

원통형 섹션

원통형 섹션

원통 단면은 원통 표면과 평면 의 교차점입니다 . 일반적으로 곡선이며 특수한 유형의 평면 섹션 입니다. 원통의 두 요소를 포함하는 평면에 의한 원통 단면은 평행 사변형 입니다. ^[4] 오른쪽 원통의 원통형 단면은 직사각형 입니다. ^[4]

교차하는 평면이 교차하고 원통의 모든 요소에 수직 인 원통 단면을 오른쪽 단면 이라고합니다 . ^[5] 원통의 오른쪽 부분이 원이라면 원통은 원통입니다. 보다 일반적으로 원통의 오른쪽 섹션이 원추형 섹션 (포물선, 타원, 쌍곡선) 인 경우 솔리드 원통은 각각 포물선, 타원 및 쌍곡선이라고합니다.

오른쪽 원형 실린더의 원통형 단면

오른쪽 원형 원통의 경우 평면이 원통을 만날 수있는 여러 가지 방법이 있습니다. 첫째, 기껏해야 한 지점에서베이스와 교차하는 평면입니다. 평면은 단일 요소에서 원통과 만나면 원통에 접합니다. 오른쪽 섹션은 원이고 다른 모든 평면은 타원 의 원통형 표면과 교차합니다 . ^[6] 평면 정확히 두 지점에서 실린더의 기부와 교차하는 경우,이 점을 연결하는 선분의 원통 단면의 일부이다. 이러한 평면에 두 개의 요소가 포함되어 있으면 원통형 단면으로 직사각형이 있고, 그렇지 않으면 원통형 단면의 측면이 타원의 일부입니다. 마지막으로 평면에베이스의 점이 두 개 이상 포함 된 경우 전체베이스가 포함되고 원통 단면이 원입니다.

원통 단면이 타원 인 오른쪽 원형 원통의 경우 원통 단면의 이심률 e 와 원통형 단면의 반장 축 a 는 원통 반경 r 과 시컨트 평면 사이의 각도 α 에 따라 달라집니다. 실린더 축은 다음과 같습니다.

${\ displaystyle e = \ cos \ alpha,}$

${\ displaystyle a = {\ frac {r} {\ sin \ alpha}}.}$

음량

원형 원통의 밑면에 반지름 r이 있고 원통의 높이가 h 인 경우 부피 는 다음 과 같이 지정됩니다.

V = π r ² h .

이 공식은 실린더가 올바른 실린더인지 여부를 유지합니다. ^[7]

이 공식은 Cavalieri의 원리 를 사용하여 설정할 수 있습니다 .

기본 타원 및 높이 h에 대한 반축 a 및 b 가있는 솔리드 타원 실린더

더 일반적으로 동일한 원리로 실린더의 부피는 바닥 면적과 높이의 곱입니다. 예를 들어, 반장 축 a , 반 단축 b 및 높이 h 를 갖는 밑면이있는 타원 원통 은 부피 V = Ah를 가지며 여기서 A 는 밑면 타원의 면적 (= π ab )입니다. 오른쪽 타원 실린더에 대한이 결과는 적분을 통해서도 얻을 수 있습니다. 여기서 실린더의 축은 양의 x 축으로 취하고 A ( x ) = A 는 각 타원 단면의 면적이므로 다음과 같습니다.

${\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} A (x) dx = \ int _ {0} ^ {h} \ pi abdx = \ pi ab \ int _ {0} ^ {h} dx = \ pi abh.}$

원통 좌표를 사용 하여 오른쪽 원통 의 부피는 다음을 적분하여 계산할 수 있습니다.

${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} s \, \, ds \, d \ phi \, dz }$

${\ displaystyle = \ pi \, r ^ {2} \, h.}$

표면적

반경 r 및 고도 (높이) h 를 갖는 오른쪽 원형 원통 의 표면적 은 축이 수직이되도록 방향이 지정되며 다음 세 부분으로 구성됩니다.

• 상단베이스의 면적 : π r ²
• 바닥 밑면의 면적 : π r ²
• 측면 면적 : 2π rh

상단 및 하단베이스의 면적은 동일하며 베이스 면적 , B 라고합니다 . 측면의 면적은라고도 측 영역 , L .

열려 실린더 중 상부 또는 하부 요소들을 포함하고, 따라서, 표면적 (측면 영역)이없는

L = 2π rh .

단단한 오른쪽 원형 원통의 표면적은 상단, 하단 및 측면의 세 가지 구성 요소의 합으로 구성됩니다. 따라서 표면적은

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r ² = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

여기서 d = 2 r 은 원형 상단 또는 하단 의 지름 입니다.

주어진 부피에 대해 표면적이 가장 작은 오른쪽 원형 원통은 h = 2 r 입니다. 동등하게 주어진 표면적에 대해 부피가 가장 큰 오른쪽 원형 원통은 h = 2 r입니다 . 즉, 원통은 측면 길이 = 고도 (= 기준 원의 지름)의 입방체에 꼭 맞습니다. ^[8]

오른쪽 원통이 아니어도되는 원형 원통 의 측면 영역 L 은보다 일반적으로 다음과 같이 지정됩니다.

L = e × p ,

여기서 e 는 요소의 길이이고 p 는 원통의 오른쪽 부분의 둘레입니다. ^[9] 상기 실린더는 우측 원형 실린더 인 경우에 측방 영역 이전 식을 생성한다.

중공 실린더

오른쪽 원형 중공 원통 (원통 쉘)

우원 중공 실린더 (또는 원통형 쉘 )와 동일 축상 갖는 두 개의 평행 한 우측 원형 실린더로 둘러싸인 삼차원 영역 인 환형 다이어그램에서와 같이 실린더 '공통 축에 수직 염기.

높이를 h , 내부 반경 r , 외부 반경 R로 지정 합니다. 볼륨은

${\ displaystyle V = \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}) h = 2 \ pi \ left ({\ frac {R + r} {2}} \ right) h (Rr).}$.

따라서 원통형 쉘의 부피는 2π (평균 반경) (고도) (두께)와 같습니다. ^[10]

상단과 하단을 포함한 표면적은 다음과 같이 주어진다.

${\ displaystyle A = 2 \ pi (R + r) h + 2 \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}).}$.

원통형 쉘은 회전 솔리드 볼륨을 찾기위한 공통 통합 기술에 사용됩니다. ^[11]

구와 원통에

구는베이스를 포함하여 외접 원통의 부피와 표면적의 2/3를 갖습니다.

이 이름의 논문에서 c. 기원전 225 년, 아르키메데스 는 그가 가장 자랑스러워하는 결과를 얻었습니다. 즉 , 같은 높이와 지름 의 구와 외접 한 오른쪽 원형 원통 사이의 관계를 이용하여 구의 부피와 표면적에 대한 공식을 얻었습니다 . 구의 부피 는 외접 원통의 3 분의 2 이고 표면적 은 원통 (베이스 포함)의 3 분의 2 의 부피를 갖습니다 . 원통의 값이 이미 알려져 있었기 때문에 그는 처음으로 구의 해당 값을 얻었습니다. 반경 r 의 구의 부피 는 다음과 같습니다.4/삼π r ³ = 2/삼(2 π r ³ ) . 이 구의 표면적은 4 π r ² = 2/삼(6 π r ² ) . 그의 요청에 따라 조각 된 구체와 실린더가 아르키메데스의 무덤에 놓여졌습니다.

지오메트리 및 토폴로지의 일부 영역에서 실린더 라는 용어 는 원통형 표면 이라고하는 것을 나타냅니다 . 원통은 주어진 선에 평행하고 주어진 선에 평행하지 않은 평면에서 고정 평면 곡선을 통과하는 모든 선의 모든 점으로 구성된 표면으로 정의됩니다. ^[12] 이러한 실린더는 때때로로 지칭 된 일반화 실린더 . 일반화 된 원통의 각 지점을 통해 원통에 포함 된 고유 한 선이 전달됩니다. ^[13] 따라서,이 정의는 실린더 어떤 것을 말할 수있다 고쳐 가전면 평행선 한 파라미터 군에 의해 스팬.

되는 오른쪽 부분을 갖는 실린더 타원 , 포물선 이나 쌍곡선은 이라고 타원 기둥 , 포물선 실린더 및 쌍곡선 실린더 각각. 이것들은 퇴화 쿼드 릭 서피스 입니다. ^[14]

포물선 실린더

쿼드 릭의 주축이 기준 좌표계와 정렬 될 때 (쿼드 릭의 경우 항상 가능), 3 차원에서 쿼드 릭의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

${\ displaystyle f (x, y, z) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dx + Ey + Gz + H = 0,}$

계수가 실수 이고 A , B 및 C 모두 가 0 인 것은 아닙니다. 방정식에 하나 이상의 변수가 나타나지 않으면 4 차가 축퇴됩니다. 하나의 변수가 누락 된 경우 적절한 축 회전에 의해 변수 z 가 나타나지 않으며 이러한 유형의 퇴화 쿼드 릭의 일반 방정식은 ^[15] 와 같이 쓸 수 있습니다 ^.

${\ displaystyle A \ left (x + {\ frac {D} {2A}} \ right) ^ {2} + B \ left (y + {\ frac {E} {2B}} \ right) ^ {2} = \ 로,}$

어디

${\ displaystyle \ rho = -H + {\ frac {D ^ {2}} {4A}} + {\ frac {E ^ {2}} {4B}}.}$

타원 실린더

경우 AB > 0 이것은 방정식 인 타원 기둥 . ^[15] 또한, 단순화를 얻을 수있다 축의 변환 및 스칼라 승산. 만약${\ displaystyle \ rho}$계수 A 및 B 와 같은 부호를 갖는 경우 타원 실린더의 방정식은 다음과 같이 데카르트 좌표 로 다시 쓸 수 있습니다 .

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}$

이 타원 실린더 방정식은 일반 원형 실린더 방정식 ( a = b ) 의 일반화입니다 . 타원 실린더는 원통형 이라고도 하지만 Plücker 원뿔형을 참조 할 수도 있으므로 그 이름은 모호합니다 .

만약 ${\ displaystyle \ rho}$계수와 부호가 다르면 가상 타원 실린더를 얻습니다 .

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} =-1,}$

그들에 대한 실제 포인트가 없습니다. (${\ displaystyle \ rho = 0}$ 하나의 실제 포인트를 제공합니다.)

쌍곡선 실린더

경우 와 B는 서로 다른 증상을 가지고${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$, 우리 는 방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수있는 쌍곡선 실린더를 얻습니다 .

${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2}-\ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}$

포물선 실린더

마지막 경우, AB = 0이 가정, 일반성의 손실없이 , 즉, B = 0 및 = 1 얻었다 포물선 실린더 로 쓸 수 방정식을 : ^[16]

${\ displaystyle {x} ^ {2} + 2a {y} = 0.}$

에서는 사영 기하학 실린더는 그 콘 단순히 정점 하늘 향해 원추로 나타나는 관점 실린더 시각적 대응 무한대된다.

에서는 사영 기하학 실린더는 단순히 콘 그 정점 (정점)에 놓인다 평면은 무한대 . 원뿔이 2 차 원뿔 인 경우 무한대의 평면 (정점을 통과)은 두 개의 실제 선, 단일 실제 선 (실제로 일치하는 선 쌍) 또는 정점에서만 원뿔과 교차 할 수 있습니다. 이 경우 쌍곡선, 포물선 또는 타원형 실린더가 각각 발생합니다. ^[17]

이 개념은 원통형 원뿔을 포함 할 수있는 축퇴 원뿔을 고려할 때 유용합니다 .

코펜하겐의 Tycho Brahe 천문관 건물은 잘린 실린더의 예입니다.

고체 원통는 (A)의 제한적인 경우로 볼 수있다 N -gonal 프리즘 N 접근 무한대 . 연결이 매우 강하고 많은 오래된 텍스트가 프리즘과 실린더를 동시에 처리합니다. 표면적과 부피에 대한 공식은 내접 프리즘과 외접 프리즘을 사용한 다음 프리즘의 변 수가 제한없이 증가하도록 프리즘에 대한 해당 공식에서 파생됩니다. ^[18] 원형 원통에 대한 초기 강조 (때로는 배타적 처리)의 한 가지 이유는 원형베이스가이 기법이 기본 고려 사항 만 사용하여 작동하는 유일한 유형의 기하학적 도형이기 때문입니다 (미적분학이나 고급 수학). 프리즘과 실린더에 대한 용어는 동일합니다. 예를 들어, 잘린 프리즘 은베이스가 평행 평면에 있지 않은 프리즘 이므로베이스가 평행 평면에 있지 않은 솔리드 원통을 잘린 원통 이라고합니다 .

다면체 관점에서, 실린더로도 알 수있는 듀얼 (A)의 bicone 무한 양면 같은 bipyramid .

균일 한 n- 각 프리즘 제품군

• V
• 티
• 이자형

프리즘 이름	Digonal 프리즘	(Trigonal) 삼각 프리즘	( 사각형 ) 사각 프리즘	오각형 프리즘	육각 프리즘	7 각형 프리즘	팔각형 프리즘	Enneagonal 프리즘	십각 프리즘	육각형 프리즘	12 각형 프리즘	...	Apeirogonal 프리즘
다면체 이미지												...
구형 타일링 이미지												평면 타일링 이미지
정점 구성.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter 다이어그램												...

• 도형 목록
• Steinmetz solid , 2 개 또는 3 개의 수직 실린더의 교차점

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• 웬트워스, 조지; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry , Ginn and Co.

• Weisstein, Eric W. "실린더" . MathWorld .
• MATHguide에서 실린더 의 표면적
• MATHguide 의 실린더 부피