기능의 차이

미분은 Isaac Newton 의 직관적 또는 경험적 정의를 통해 처음 도입되었으며 미분 dy 를 함수 의 값 y 에서 무한히 작은 변화 dx에 해당  하는 무한히 작은 (또는 무한 미 한 ) 변화  로 생각한  Gottfried Leibniz가 발전했습니다. 함수의 인수  x . 따라서 함수 의 도함수 값인 x에 대한 y 의 순간 변화율은 분수로 표시됩니다.

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$

파생 상품에 대한 Leibniz 표기법 이라고합니다 . 몫 dy / dx 는 무한히 작지 않습니다. 오히려 그것은 실수 입니다.

예를 들어, Berkeley 감독 의 유명한 팜플렛 The Analyst와 같이이 형태의 무한 소수 사용은 널리 비판을 받았습니다 . Augustin-Louis Cauchy ( 1823 )는 라이프니츠의 무한 소수의 원자론에 호소하지 않고 미분을 정의했습니다. ^{[1] [2]} 대신에, 코시, 다음 달랑베르 라이프니츠 그의 후속의 논리적 순서 반전 : 자체 유도체가 정의 기본 객체되었다 제한 차분 몫의, 상기 차이는 다음에 의해 정의 된 그것. 즉, 식으로 미분 dy 를 자유롭게 정의 할 수있었습니다.

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx}$

여기서 dy 와 dx 는 유한 한 실수 값을 취하는 새로운 변수이며 ^[3] Leibniz처럼 고정 된 무한 소수가 아닙니다. ^[4]

Boyer (1959 , p. 12) 에 따르면 , Cauchy의 접근 방식은 Leibniz의 무한한 접근 방식에 비해 상당한 논리적 개선이었습니다. 왜냐하면 무한소의 형이상학 적 개념을 호출하는 대신 양 dy 와 dx 는 이제 정확히 동일한 방식으로 조작 될 수 있기 때문입니다. 의미있는 방식으로 다른 실제 수량. 미분에 대한 Cauchy의 전반적인 개념적 접근 방식은 현대 분석 처리에서 표준 방식으로 남아 있지만 ^[5] 한계에 대한 완전히 현대적인 개념 인 엄격함에 대한 최종 단어는 궁극적으로 Karl Weierstrass 때문이었습니다 . ^[6]

열역학 이론에 적용되는 것과 같은 물리 치료에서는 여전히 극소적인 관점이 우세합니다. Courant & John (1999 , p. 184)은 무한 미분의 물리적 사용과 수학적 불가능을 다음과 같이 조정합니다. 미분은 특정 목적에 필요한 정확도보다 작은 0이 아닌 유한 값을 나타냅니다. 따라서 "물리적 무한소"는 정확한 의미를 갖기 위해 상응하는 수학적 무한소에 호소 할 필요가 없습니다.

20 세기의 수학적 분석 과 미분 기하학의 발전에 따라 함수 미분의 개념이 다양한 방식으로 확장 될 수 있다는 것이 분명해졌습니다. 실제 분석 에서는 함수 증분의 주요 부분으로 미분을 직접 처리하는 것이 더 바람직합니다. 이것은 한 지점에서 함수의 미분이 증분 Δ x 의 선형 함수 라는 개념으로 직접 이어집니다 . 이 접근 방식을 사용하면 차동 (선형 맵)이 다양하고 정교한 공간에 대해 개발되어 궁극적으로 Fréchet 또는 Gateaux 파생물 과 같은 개념이 생성됩니다 . 마찬가지로 미분 기하학 에서 한 지점에서 함수의 미분은 접선 벡터 의 선형 함수 ( "무한 작은 변위")로, 함수 의 외부 도함수 인 한 가지 형태로 나타납니다 . 에서는 비표준 치석 , 차이가 스스로 엄격한 각주에 넣을 수있는 무한소로 간주된다 (참조 ) 차동 (무한소을 ).

점 x ₀ 에서 함수 ƒ ( x )  의 미분 .

미분은 다음과 같이 현대 미적분학의 처리에서 정의됩니다. ^[7] 단일 실수 변수 x 의 함수 f ( x )의 미분 은 다음 과 같이 주어진 두 개의 독립 실수 변수 x 와 Δ x 의 함수 df 입니다.

${\ displaystyle df (x, \ Delta x) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f '(x) \, \ Delta x.}$

인수 중 하나 또는 둘 모두를 억제 할 수 있습니다. 즉, 하나는 df ( x ) 또는 단순히 df를 볼 수 있습니다 . 경우 Y는  =  f를 ( X )는 차동으로도 기록 될 수있다 DY . 이후 DX ( X , Δ X ) = Δ x를 가 기록에 종래 DX  = Δ X , 그래서 다음 어떤지를 보유한다 :

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx}$

이 미분 개념은 함수에 대한 선형 근사 를 구할 때 광범위하게 적용 할 수 있으며 증분 Δ x 의 값이 충분히 작습니다. 보다 구체적으로, 만일 F는 A는 미분 함수 에 X , 다음의 차분 Y -values은

${\ displaystyle \ 델타 y {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} f (x + \ 델타 x) -f (x)}$

만족하다

${\ displaystyle \ Delta y = f '(x) \, \ Delta x + \ varepsilon = df (x) + \ varepsilon \,}$

근사치의 오차 ε는 ε / Δ x  → 0을 Δ x  → 0으로 만족 합니다. 즉, 하나는 근사 동일성을가집니다.

${\ displaystyle \ Delta y \ approx dy}$

Δx 를 충분히 작게 제한함으로써 Δx 에 대해 원하는만큼 오차를 ​​작게 만들 수 있습니다 . 즉 말하자면,

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y-dy} {\ Delta x}} \ to 0}$

Δ로 X  이 때문에 → 0, 함수의 미분이라고도 주체 (선형) 일부 함수의 증분에서 다음 차동 A는 선형 함수 증가 Δ의 X 및 에러 ε가 될 수 있지만,이 비선형, Δ x 가 0이되는 경향이 있으므로 빠르게 0이되는 경향이 있습니다.

연산자 \ 기능	${\ displaystyle f (x)}$	${\ displaystyle f (x, y, u (x, y), v (x, y))}$
미분	1: ${\ displaystyle df \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$	2 : ${\ displaystyle d_ {x} f \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$ 삼: 디 에프 = 디 이자형 에프 에프 엑스 ′ 디 엑스 + 에프 와이 ′ 디 와이 + 에프 유 ′ 디 유 + 에프 V ′ 디 V {\ displaystyle df \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} dx + f'_ {y} dy + f '_ {u} du + f '_ {v} dv}
부분 미분	${\ displaystyle f '_ {x} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(1)}} {}} {=}} \, {\ frac {df} {dx}}}$	${\ displaystyle f '_ {x} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(2)}} {}} {=}} \, {\ frac {d_ {x} f} {dx}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}$
총 미분	${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(1)}} {}} {=}} \, f '_ {x}}$	${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(3)}} {}} {=}} \, f '_ {x} + f'_ { u} {\ frac {du} {dx}} + f '_ {v} {\ frac {dv} {dx}}; (f'_ {y} {\ frac {dy} {dx}} = 0) }$

다음 Goursat (1904 , I, §15), 하나 개 이상의 독립 변수의 기능,

${\ displaystyle y = f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}),}$

편미분 의 Y 변수 중 어느 하나에 대하여  , X ₍₁₎ 의 변화의 주요 부분 Y 의 변화에 기인  DX ₍₁₎ 이 하나 개의 변수이다. 따라서 편미분은

${\ displaystyle {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} dx_ {1}}$

포함한 편미분 의 예를 에 대하여  X ₁ . 모든 독립 변수에 대한 편미분의 합은 총 미분입니다.

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {n}}} dx_ {n },}$

이것은 독립 변수 x _i의 변화로 인한  y 변화의 주요 부분입니다 .

보다 구체적으로, 다변량 수학의 관점에서, 다음 쿠랑 (1937b) , 경우 f는 에 의해 다음 미분 함수 인 미분 가능성의 정의 , 증분

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta y & {} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f (x_ {1} + \ Delta x_ {1}, \ dots, x_ {n} + \ Delta x_ {n})-f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \\ & {} = {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} \ Delta x_ { 1} + \ cdots + {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {n}}} \ Delta x_ {n} + \ varepsilon _ {1} \ Delta x_ {1} + \ cdots + \ varepsilon _ { n} \ 델타 x_ {n} \ end {정렬}}}$

여기서 오차항 ε _i 는 증분 Δ x _i가 공동으로 0이 될 때 0이되는 경향이 있습니다. 총 차이는 다음과 같이 엄격하게 정의됩니다. 

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} \ Delta x_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {n}}} \ 델타 x_ {n}.}$

이 정의를 통해

${\ displaystyle dx_ {i} (\ Delta x_ {1}, \ dots, \ Delta x_ {n}) = \ Delta x_ {i},}$

하나는

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} \, dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {n}}} \ , dx_ {n}.}$

하나의 변수의 경우와 마찬가지로 대략적인 동일성은

${\ displaystyle dy \ approx \ 델타 y}$

총 오류를 원하는만큼 작게 만들 수 있습니다. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta x_ {1} ^ {2} + \ cdots + \ Delta x_ {n} ^ {2}}}}$ 충분히 작은 증분에만주의를 기울입니다.

오차 추정에 총 미분 적용

측정에서 총 미분은 매개 변수 x , y ,… 의 오류 Δ x , Δ y , ...를 기반으로 함수 f 의 오류 Δ f 를 추정하는 데 사용됩니다 . 간격이 거의 선형이 될 수있을만큼 충분히 짧다고 가정합니다.

Δ f ( x ) = f ' ( x ) × Δ x

그리고 모든 변수는 독립적이고 모든 변수에 대해

${\ displaystyle \ Delta f = f_ {x} \ Delta x + f_ {y} \ Delta y + \ cdots}$

미분 때문이다 F의 _X , 특정 파라미터에 대하여 , x는 함수의 감도를 제공한다 (F) 의 변화에 X를 특히 에러 Δ의 X를 . 독립적 인 것으로 가정하므로 분석은 최악의 시나리오를 설명합니다. 간단한 계산 후 미분에 음의 부호가있을 수 있기 때문에 구성 요소 오류의 절대 값이 사용됩니다. 이 원칙에서 합산, 곱셈 등의 오류 규칙이 도출됩니다. 예 :

f ( a , b ) = a × b ;

Δ f = f _a Δ a + f _b Δ b ; 파생 상품 평가

Δ f = b Δ a + a Δ b ; f로 나누기 , 즉 a × b

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / b

즉, 곱셈에서 총 상대 오차 는 매개 변수의 상대 오차의 합입니다.

이것이 고려되는 함수에 어떻게 의존하는지 설명하기 위해 함수가 대신 f ( a , b ) = a ln b 인 경우를 고려하십시오 . 그런 다음 오류 추정치가 다음과 같이 계산 될 수 있습니다.

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / ( b ln b )

단순한 제품의 경우 에는 추가 ' ln b '요소가 없습니다. 이 추가 요소는 ln b 가 베어 b 만큼 크지 않기 때문에  오류를 더 작게 만드는 경향이 있습니다.

단일 변수 x 의 함수 y  =  f ( x )의 고차 미분은 다음을 통해 정의 할 수 있습니다. ^[8]

${\ displaystyle d ^ {2} y = d (dy) = d (f '(x) dx) = (df'(x)) dx = f ''(x) \, (dx) ^ {2}, }$

그리고 일반적으로

${\ displaystyle d ^ {n} y = f ^ {(n)} (x) \, (dx) ^ {n}.}$

비공식적으로 이것은 고차 도함수에 대한 라이프니츠의 표기법을 자극합니다.

${\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = {\ frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}}.}$

독립 변수 x 자체가 다른 변수에 의존하도록 허용되면 x 자체에 고차 미분도 포함해야하므로 표현식이 더 복잡해 집니다. 따라서 예를 들어

${\ displaystyle {\ begin {aligned} d ^ {2} y & = f ''(x) \, (dx) ^ {2} + f '(x) d ^ {2} x \\ d ^ {3} y & = f '' '(x) \, (dx) ^ {3} + 3f' '(x) dx \, d ^ {2} x + f'(x) d ^ {3} x \ end {정렬 됨 }}}$

기타 등등.

유사한 고려 사항이 여러 변수의 함수에 대한 고차 미분을 정의하는 데 적용됩니다. 예를 들어, f 가 두 변수 x 및 y 의 함수 이면

${\ displaystyle d ^ {n} f = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {\ partial ^ {n} f} {\ partial x ^ { k} \ 부분 y ^ {nk}}} (dx) ^ {k} (dy) ^ {nk},}$

어디 ${\ textstyle {\ binom {n} {k}}}$A는 이항 계수 . 더 많은 변수에서 유사한식이 유지되지만 이항 확장보다는 적절한 다항 확장이 있습니다. ^[9]

독립 변수가 다른 변수에 의존하도록 허용되면 여러 변수의 고차 차이도 더 복잡해집니다. 예를 들어, 보조 변수에 의존 할 수있는 x 와 y 의 함수 f 의 경우

${\ displaystyle d ^ {2} f = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (dx) ^ {2} +2 {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} dx \, dy + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} (dy) ^ {2} \ right ) + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} d ^ {2} x + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} d ^ {2} y.}$

이 표기법의 부적절 함으로 인해 고차 미분의 사용은 Hadamard 1935에 의해 다음과 같이 결론을 내 렸습니다.

Enfin, que signifie ou que représente l' égalité

${\ displaystyle d ^ {2} z = r \, dx ^ {2} + 2s \, dx \, dy + t \, dy ^ {2} \ ,?}$

A mon avis, rien du tout.

즉 , 마지막으로 평등 [...]이란 무엇을 의미하거나 표현합니까? 제 생각에는 전혀 없습니다. 이러한 회의론에도 불구하고 고차 차이가 분석에서 중요한 도구로 등장했습니다. ^[10]

이러한 맥락에서 증분 Δ x에 적용되는 함수 f 의 n 차 미분은 다음과 같이 정의됩니다.

${\ displaystyle d ^ {n} f (x, \ Delta x) = \ left. {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} f (x + t \ Delta x) \ right | _ {t = 0}}$

또는 다음과 같은 동등한 표현식

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ Delta _ {t \ Delta x} ^ {n} f} {t ^ {n}}}}$

어디 ${\ displaystyle \ Delta _ {t \ Delta x} ^ {n} f}$증분 t Δ x 가있는 n 번째 순방향 차이 입니다 .

이 정의는 f 가 여러 변수의 함수 인 경우에도 의미가 있습니다 (간단하게 여기에서 벡터 인수로 취함). 그런 다음 이러한 방식으로 정의 된 n 번째 미분 은 벡터 증분 Δ x 에서 n 차 의 동종 함수 입니다 . 게다가, 테일러 급수 의 F 점에서 , X는 으로 주어진다

${\ displaystyle f (x + \ Delta x) \ sim f (x) + df (x, \ Delta x) + {\ frac {1} {2}} d ^ {2} f (x, \ Delta x) + \ cdots + {\ frac {1} {n!}} d ^ {n} f (x, \ Delta x) + \ cdots}$

고차 Gateaux 미분은 이러한 고려 사항을 무한 차원 공간으로 일반화합니다.

미분의 많은 속성은 미분, 편미분 및 총 미분의 해당 속성에서 간단하게 따릅니다. 여기에는 다음이 포함됩니다. ^[11]

• 선형성 : 상수 a 및 b 및 미분 함수 f 및 g의 경우 ,

${\ displaystyle d (af + bg) = a \, df + b \, dg.}$

• 제품 규칙 : 두 가지 미분 함수 f 및 g ,

${\ displaystyle d (fg) = f \, dg + g \, df.}$

이 두 속성을 가진 연산 d 는 추상 대수 에서 파생 으로 알려져 있습니다. 그들은 권력 규칙을 암시합니다

${\ displaystyle d (f ^ {n}) = nf ^ {n-1} df}$

또한, 다양한 형태의 체인 규칙 이 일반화 수준으로 유지됩니다. ^[12]

• 경우 Y는  =  F를 ( 유 ) 변수의 미분 함수이다 U 및 U  =  g ( X )의 미분 함수이고 , X는 그 후,

${\ displaystyle dy = f '(u) \, du = f'(g (x)) g '(x) \, dx.}$

• 경우 Y는 = F ( X ₁ , ..., X에 _N을 ) 및 모든 변수  X ₁ , ...,  X _n은 다른 변수에 의존  t 에 의해 그리고, 편미분위한 연쇄 법칙 , 하나 가지고

${\ displaystyle {\ begin {aligned} dy & = {\ frac {dy} {dt}} dt \\ & = {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {n}}} dx_ {n} \\ & = {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}} {\ frac {dx_ {1 }} {dt}} \, dt + \ cdots + {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {n}}} {\ frac {dx_ {n}} {dt}} \, dt. \ end {aligned }}}$

경험적으로 여러 변수에 대한 연쇄 규칙은이 방정식의 양변을 무한히 작은 양 dt 로 나누어서 그 자체로 이해할 수 있습니다 .

• 보다 일반적인 유사식이 유지되며, 중간 변수 x _i 는 둘 이상의 변수에 의존합니다.

두 유클리드 공간 사이의 f  : R ⁿ → R ^m 함수에 대해 일관된 미분 개념을 개발할 수 있습니다 . x , Δ x  ∈  R ⁿ 을 유클리드 벡터 쌍 이라고합시다 . 함수의 증분 F는 이고

${\ displaystyle \ Delta f = f (\ mathbf {x} + \ Delta \ mathbf {x}) -f (\ mathbf {x}).}$

이 생길 있으면 m  ×  N을 매트릭스 되도록을

${\ displaystyle \ Delta f = A \ Delta \ mathbf {x} + \ | \ Delta \ mathbf {x} \ | {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$

여기서 벡터 ε  → 0이 Δ x  → 0이면 f 는 정의에 의해 점 x 에서 미분 할 수 있습니다. 행렬 (A)은 때때로라고도 코비안 행렬 과 선형 변환 이 증가 Δ에 어소 X  ∈  R ^N 벡터 Δ X  ∈  R ^m 이며, 차동 알려진 이러한 일반적인 설정에 DF ( X 의) F 점 x . 이것은 정확히 Fréchet 파생물 이며, Banach 공간 사이의 기능을 위해 동일한 구조를 만들 수 있습니다 .

또 다른 유익한 관점은 미분을 일종의 방향성 미분으로 직접 정의하는 것입니다 .

${\ displaystyle df (\ mathbf {x}, \ mathbf {h}) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {h}) -f (\ mathbf {x})} {t}} = \ left. {\ frac {d} {dt}} f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {h}) \ right | _ {t = 0},}$

이것은 고차 미분을 정의하기 위해 이미 취해진 접근 방식입니다 (그리고 Cauchy가 정한 정의와 거의 비슷합니다). 경우 t는 시간을 나타내고, (X)의 위치를, 다음 시간은 우리가 지금까지로 간주 것처럼 대신 변위의 속도를 나타낸다. 이것은 미분 개념의 또 다른 개선을 가져옵니다. 그것은 운동 학적 속도의 선형 함수 여야한다는 것입니다. 주어진 공간 지점을 통과하는 모든 속도의 집합을 접선 공간이라고 하며, 따라서 df 는 접선 공간에 대한 선형 함수 인 미분 형식을 제공 합니다. 이러한 해석을 통해 f의 미분 은 외부 미분 으로 알려져 있으며 속도와 접선 공간의 개념이 미분 가능한 모든 매니 폴드 에서 의미가 있기 때문에 미분 기하학에 광범위하게 적용됩니다 . 또한 f 의 출력 값이 위치 (유클리드 공간)를 나타내는 경우 차원 분석을 통해 df 의 출력 값이 속도 여야 함을 확인합니다 . 이러한 방식으로 미분을 처리하면 소스 공간의 속도를 대상 공간의 속도로 "푸시"하기 때문에 푸시 포워드 라고합니다.

현대 수학적 분석 에서는 무한 증가 dx 를 갖는 개념이 잘 정의되어 있지 않지만 함수의 미분을 라이프니츠 표기법 과 충돌하지 않는 방식으로 처리 할 수 ​​있도록 무한 미 미분 을 정의하는 다양한 기술이 존재합니다. . 여기에는 다음이 포함됩니다.

• 미분을 일종의 미분 형식 , 특히 함수 의 외부 미분 으로 정의합니다. 그런 다음 점 의 접선 공간 에있는 벡터로 극소 증분을 식별 합니다. 이 접근 방식은 미분 가능한 매니 폴드 간의 매핑으로 쉽게 일반화되기 때문에 미분 기하학 및 관련 분야 에서 널리 사용됩니다 .
• 교환 고리 의 전능 요소 로서의 미분 . 이 접근법은 대수 기하학 에서 널리 사용됩니다 . ^[13]
• 집합 이론의 부드러운 모델의 미분. 이 접근법은 합성 미분 기하학 또는 부드러운 무한소 분석 으로 알려져 있으며 , 토포스 이론의 아이디어 가 무능 무한소가 도입되는 메커니즘 을 숨기는 데 사용 된다는 점을 제외하고는 대수적 기하학적 접근법과 밀접하게 관련되어 있습니다. ^[14]
• 초 실수 시스템 에서 무한 소수 로서의 미분 은 가역적 무한 소수와 무한히 큰 수를 포함하는 실수의 확장입니다. 이것은 Abraham Robinson이 개척 한 비표준 분석 의 접근 방식입니다 . ^[15]

계산에서 실험 오류의 전파와 문제 의 전반적인 수치 안정성 을 연구하기 위해 수치 분석 에서 미분을 효과적으로 사용할 수 있습니다 ( Courant 1937a ). 변수 x 가 실험의 결과를 나타내고 y 가 x에 적용된 수치 계산의 결과 라고 가정합니다 . 문제는 x 측정 오류 가 y 계산 결과에 영향을 미치는 정도 입니다. 경우] X는 Δ 내에 공지되어 X 진정한 값 후 테일러 정리는 에러 Δ에서의 다음 추정치 제공 Y 의 계산의 예를 :

${\ displaystyle \ Delta y = f '(x) \ Delta x + {\ frac {(\ Delta x) ^ {2}} {2}} f' '(\ xi)}$

여기서 ξ = x + θ Δ x 일부 0 < θ <1 . Δ x 가 작 으면 2 차 항은 무시할 수 있으므로 Δ y 는 실제 목적 상 dy = f ' ( x ) Δ x로 잘 근사됩니다 .

미분은 종종 미분 방정식 을 다시 작성하는 데 유용합니다.

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = g (x)}$

~의 형태의

${\ displaystyle dy = g (x) \, dx,}$

특히 변수 를 분리 하고자 할 때 .

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