차원 분석

물리 과학 및 공학 분야의 많은 매개 변수와 측정은 구체적인 숫자 ( 숫자 수량 및 해당 치수 단위) 로 표현됩니다 . 종종 수량은 몇 가지 다른 수량으로 표현됩니다. 예를 들어 속도는 길이와 시간의 조합입니다 (예 : 시속 60km 또는 초당 1.4km). "per"가있는 복합 관계는 나누기 로 표현됩니다 ( 예 : 60km / 1h). 다른 관계에는 곱셈 (종종 중앙에 점 또는 병치로 표시됨), 거듭 제곱 ( 평방 미터의 경우 m ^{2 등} ) 또는 이들의 조합 이 포함될 수 있습니다 .

집합 베이스 유닛 A에 대한 측정 시스템은 다른 것의 조합으로 시스템의 나머지 모든 단위로 표현 될 수있는 용어로 표현 될 수있는 유료 단위의 종래 선택된 집합이다. ^[5] 예를 들어,에 대한 단위 길이 및 시간은 일반적으로 기본 단위로 선택된다. 위한 단위 체적 그러나, 길이 (m의 기본 단위로 고려 될 수있다 ⁽³⁾ , 따라서 이들이 유래 또는 화합물 단위 간주된다).

때로는 단위의 이름이 파생 된 단위라는 사실을 모호하게 만듭니다. 예를 들어, 뉴턴 (N)은 질량 (kg) x 가속도 단위 (m⋅s ⁻² ) 를 갖는 힘의 단위입니다 . 뉴턴은 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² 로 정의됩니다 .

백분율, 미분 및 적분

백분율은 차원이 동일한 두 수량의 비율이기 때문에 차원이없는 수량입니다. 즉, % 기호는 1 % = 1/100 이므로 "백분의 일"로 읽을 수 있습니다 .

수량에 대한 미분을 취하면 분모에 대해 미분 변수의 차원이 추가됩니다. 그러므로:

• 위치 ( x )는 치수 L (길이)을 갖습니다.
• 시간에 대한 위치의 미분 ( dx / dt , 속도 )은 차원 T ^-1 L-위치로부터의 길이, 기울기로 인한 시간;
• 2 차 미분 ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , 가속도 )은 치수 T ⁻² L을 갖습니다 .

마찬가지로, 적분을 취하면 변수 1이 적분하는 변수의 차원이 더해집니다.

• 힘 의 차원은 T ^-2 L M (질량에 가속도를 곱한 값)입니다.
• 물체가 이동 한 거리 ( s )에 대한 힘의 적분 (${\ displaystyle \ textstyle \ int F \ ds}$, work )의 치수는 T ⁻² L ² M 입니다.

경제학에서는 주식과 흐름을 구분합니다. 주식 은 "단위"(예 : 위젯 또는 달러) 단위를 가지고 있고 흐름 은 주식 의 파생물이며 "단위 / 시간"(예 : 달러 / 년).

일부 컨텍스트에서 차원 수량은 일부 차원을 생략하여 차원이없는 수량 또는 백분율로 표현됩니다. 예를 들어, GDP 대비 부채 비율 은 일반적으로 백분율로 표시됩니다. 총 미결제 부채 (통화 치수)를 연간 GDP (통화 치수)로 나눈 값입니다. 그러나 주식을 흐름과 비교할 때 연간 GDP는 다음과 같아야한다고 주장 할 수 있습니다. 통화 / 시간 (예 : 달러 / 년)의 차원을 가지므로 GDP 대비 부채는 년 단위를 가져야합니다. 이는 GDP 대비 부채가 부채를 상환하는 데 필요한 연수임을 나타냅니다. 모든 GDP가 부채에 지출되고 부채가 변경되지 않는 경우.

차원 분석에서는 수량을 변경하지 않고 측정 단위를 다른 단위로 변환하는 비율을 변환 계수 라고합니다 . 예를 들어, kPa와 bar는 모두 압력 단위이고 100kPa = 1bar 입니다. 대수 법칙은 방정식의 양변을 같은 식으로 나눌 수 있도록 허용하므로 이는 100 kPa / 1 bar = 1 과 동일합니다 . 어떤 수량이든 변경하지 않고 1을 곱할 수 있으므로 " 100 kPa / 1 bar "라는 표현을 사용하여 단위를 포함하여 변환 할 수량과 곱하여 막대에서 kPa로 변환 할 수 있습니다. 예를 들어, 5 × 100 kPa의 모음 / 1 = 500 kPa의 바는 때문에 5 = 500 × 100 / 1 및 / 바, 그래서 상쇄 5 = 500 kPa의 막대를 .

차원 분석의 가장 기본적인 규칙은 차원 동질성입니다. ^[6]

칭찬 할 수있는 수량 (동일한 치수를 갖는 물리적 수량) 만 비교 , 동등 화 , 추가 또는 뺄 수 있습니다.

그러나 차원 은 곱셈에서 아벨 그룹을 형성 하므로 다음과 같습니다.

비교할 수 없는 양 (차원이 다른 양)의 비율 을 사용 하여 곱 하거나 나눌 수 있습니다.

예를 들어, 치수가 다르기 때문에 1 시간이 1km 이상인지, 같은지 또는 1km 미만인지 묻거나 1km에 1 시간을 더하는 것은 의미가 없습니다. 그러나 단위가 다르더라도 1 마일이 물리량의 동일한 차원 인 1 마일이 더 많거나 같은지 또는 1 킬로미터 미만인지 묻는 것은 완벽합니다. 반면에 물체가 2 시간 동안 100km를 이동하면이를 나누고 물체의 평균 속도가 50km / h라고 결론을 내릴 수 있습니다.

이 규칙은 물리적으로 의미있는 표현식 에서 동일한 차원의 수량 만 더하거나 빼거나 비교할 수 있음을 의미 합니다 . 예를 들어, m _man , m _rat 및 L _man을 각각 어떤 사람의 질량, 쥐의 질량 및 그 사람의 길이를 나타내는 경우 차원 적으로 균질 한 표현 m _man + m _rat 는 의미가 있지만 이질적 표현 m _man + L _man 은 의미가 없습니다. 그러나 m _man / L ² _man 은 괜찮습니다. 따라서 차원 분석은 물리 방정식 의 온 전성 검사 로 사용될 수 있습니다 . 방정식의 양변은 칭찬 할 수 있거나 동일한 차원을 가져야합니다.

이것은 대부분의 수학 함수, 특히 초월 함수 가 인수 로 무 차원 수량, 순수한 숫자를 가져야하며 결과적으로 무 차원 숫자를 반환해야 함을 의미합니다. 많은 초월 함수 가 무 차원 계수 를 갖는 무한 거듭 제곱 으로 표현 될 수 있기 때문에 이것은 분명 합니다.

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots}$

x의 모든 거듭 제곱은 항을 칭찬 할 수 있으려면 동일한 차원을 가져야합니다. 하지만 만약 x가 되지 차원이며, 다음의 서로 다른 능력 X는 다른, 잴 수없는 차원이있을 것이다. 그러나 루트 함수를 포함한 거듭 제곱 함수 는 차원 인수를 가질 수 있으며 인수 차원에 적용된 동일한 거듭 제곱 인 차원을 갖는 결과를 반환합니다. 멱 함수와 근 함수는 대략적으로 수량의 곱셈의 표현이기 때문입니다.

두 물리량의 차원이 동일하더라도 비교하거나 추가하는 것은 의미가 없을 수 있습니다. 예를 들어, 토크 와 에너지는 치수 T ⁻² L ² M을 공유 하지만 근본적으로 다른 물리량입니다.

치수가 같지만 다른 단위로 표현 된 수량을 비교, 더하기 또는 빼기 위해 표준 절차는 먼저 모든 수량을 동일한 단위로 변환하는 것입니다. 예를 들어 32 미터를 35 야드와 비교하려면 1 야드 = 0.9144m를 사용하여 35 야드를 32.004m로 변환합니다.

관련 원칙은 현실 세계를 정확하게 설명하는 모든 물리 법칙은 물리 변수를 측정하는 데 사용되는 단위와 독립적이어야한다는 것입니다. ^[7] 예를 들어, 뉴턴의 운동 법칙은 거리가 마일이나 킬로미터로 측정되어 있는지 여부를 성립해야합니다. 이 원리는 변환 계수가 동일한 차원을 측정하는 단위 사이에서 취해야하는 형식, 즉 단순 상수에 의한 곱을 야기합니다. 또한 동등성을 보장합니다. 예를 들어 두 건물의 높이가 같은 경우 두 건물의 높이는 같아야합니다.

factor-label 방법은 분수로 표현되고 배열 된 변환 계수를 순차적으로 적용하여 분수의 분자와 분모 모두에 나타나는 모든 차원 단위를 원하는 차원 단위 집합 만 얻을 때까지 취소 할 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같이 일련의 변환 계수를 사용하여 시간당 10 마일을 초당 미터 로 변환 할 수 있습니다 .

${\ displaystyle {\ frac {10 \ {\ cancel {\ text {mile}}}} {1 \ {\ cancel {\ text {시간}}}} \ times {\ frac {1609.344 {\ text {meter} }} {1 \ {\ cancel {\ text {mile}}}}} \ times {\ frac {1 \ {\ cancel {\ text {hour}}}} {3600 {\ text {second}}}} = 4.4704 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}}.}$

각 변환 계수는 원래 단위를 취소하는 계수를 만들기 위해 재 배열되기 전에 원래 단위 중 하나와 원하는 단위 중 하나 (또는 ​​일부 중간 단위) 간의 관계를 기반으로 선택됩니다. 예를 들어 "마일"은 원래 분수의 분자이고${\ displaystyle 1 \ {\ text {mile}} = 1609.344 \ {\ text {meter}}}$, "마일"은 환산 계수의 분 모여야합니다. 방정식의 양쪽을 1 마일로 나누면${\ displaystyle {\ frac {1 \ {\ text {mile}}} {1 \ {\ text {mile}}}} = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {마일}}}}}$, 단순화하면 무 차원 ${\ displaystyle 1 = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {mile}}}}}$. 어떤 양 (물리적 양이든 아니든)에 무 차원 1을 곱해도 그 양은 변하지 않습니다. 이 값과 시간당 초에 대한 변환 계수에 원래 분수를 곱하여 마일 및 시간 단위를 취소하면 시간당 10 마일이 초당 4.4704 미터로 변환됩니다.

좀더 복잡한 예로서, 농도 의 질소 산화물 있는 (즉, 아니 엑스 {\ displaystyle \ color {파란색} {\ ce {NO}} _ {x}} ) 산업용 용광로 에서 나온 연도 가스 는 시간당 그램 (즉, g / h)으로 표시 되는 질량 유량 으로 변환 할 수 있습니다.${\ displaystyle {\ ce {NO}} _ {x}}$ 아래와 같이 다음 정보를 사용합니다.

NO _x 농도

10 = 백만 분 부피 = 10 ppmv의 양 = 10 / 10에 의해 ⁶ 권

NO _x 몰 질량

= 46kg / kmol = 46g / mol

연도 가스의 유량

= 분당 20 입방 미터 = 20m ³ / 분

연도 가스는 0 ° C 온도와 101.325 kPa 절대 압력에서 퍼니스를 빠져 나갑니다.

몰 부피 0 ° C의 온도에서 가스와 101.325 kPa로는 22.414 m 인 ³ / kmol .

${\ displaystyle {\ frac {1000 \ {\ ce {g \ NO}} _ {x}} {1 {\ cancel {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}} \ times {\ frac {46 \ {\ cancel {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}} {1 \ {\ cancel {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}}} \ times {\ frac {1 \ {\ cancel {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}} {22.414 \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO }} _ {x}}}}} \ times {\ frac {10 \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO}} _ {x}}}} {10 ^ {6} \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}}} \ times {\ frac {20 \ {\ cancel {{\ ce {m} } ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} {1 \ {\ cancel {\ ce {minute}}}}} \ times {\ frac {60 \ {\ cancel {\ ce {minute}} }} {1 \ {\ ce {시간}}}} = 24.63 \ {\ frac {{\ ce {g \ NO}} _ {x}} {\ ce {시간}}}}$

위 방정식에서 분수의 분자와 분모 모두에 나타나는 치수 단위를 제거하면 10ppm _v 의 NO _x 농도가 시간당 24.63g의 질량 유량으로 변환됩니다.

치수가 포함 된 방정식 확인

factor-label 방법은 방정식의 왼쪽에있는 차원 단위가 방정식의 오른쪽에있는 차원 단위와 동일한 지 여부를 확인하기 위해 수학 방정식에 사용할 수도 있습니다. 방정식의 양쪽에 동일한 단위가 있다고해서 방정식이 정확하다는 보장은 없지만 방정식의 양변에 다른 단위 (기본 단위로 표현할 때)가 있다는 것은 방정식이 잘못되었음을 의미합니다.

예를 들어 다음과 같은 경우 PV = nRT 의 Universal Gas Law 방정식을 확인하십시오 .

• 압력 P 는 파스칼 (Pa) 단위입니다.
• 부피 V 는 입방 미터 (m ³ )입니다.
• 물질 n 의 양은 몰 (mol)입니다.
• 범용 기체 법칙 상수의 R은 Pa⋅m 8.3145 인 ³ / (mol⋅K)
• 온도 T 는 켈빈 (K)입니다.

${\ displaystyle {\ ce {Pa.m ^ 3}} = {\ frac {\ cancel {{\ ce {mol}}}} {1}} \ times {\ frac {{\ ce {Pa.m ^ 3 }}} {{\ cancel {{\ ce {mol}}}} \ {\ cancel {{\ ce {K}}}}} \ times {\ frac {\ cancel {{\ ce {K}}} }{1}}}$

알 수 있듯이 방정식 오른쪽의 분자와 분모에 나타나는 차원 단위가 제거되면 방정식의 양변은 동일한 차원 단위를 갖습니다. 차원 분석은 관련없는 물리 화학적 특성과 관련된 방정식을 구성하는 도구로 사용할 수 있습니다. 방정식은 지금까지 알려지지 않았거나 간과 된 물질의 특성을 남은 차원 (차원 조정자)의 형태로 드러내고 물리적 중요성을 할당 할 수 있습니다. 그러한 '수학적 조작'은 사전 선례도없고, 상당한 과학적 중요성도 없음을 지적하는 것이 중요합니다. 실제로 우주의 기본 상수 인 플랑크 상수 는 자외선 재앙을 방지하기 위해 Rayleigh-Jeans 방정식을 기반으로하는 순수 수학적 추상화 또는 표현으로 '발견'되었습니다. 그것은 이전이 아니라 수학적 차원 조정 후 또는 직렬로 양자 물리적 중요성에 할당되고 상승했습니다.

한계

factor-label 방법은 단위가 0에서 교차하는 선형 관계에있는 단위 수량 만 변환 할 수 있습니다. ( Stevens의 유형학에서 비율 척도 ) 대부분의 단위는이 패러다임에 적합합니다. 사용할 수없는 예는 섭씨 와 켈빈 (또는 화씨 ) 간의 변환 입니다. 섭씨와 켈빈 사이에는 일정한 비율보다는 일정한 차이가있는 반면 섭씨와 화씨 사이에는 일정한 차이나 일정한 비율이 없습니다. 그러나 아핀 변환 (${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$, 선형 변환이 아닌 ${\ displaystyle x \ mapsto ax}$) 그들 사이에.

예를 들어 물의 빙점은 0 ° C 및 32 ° F (0 ° C)이고 5 ° C 변화는 9 ° F (-13 ° C) 변화와 동일합니다. 따라서 화씨 단위에서 섭씨 단위로 변환하려면 32 ° F (기준점에서 오프셋)를 빼고 -13 ° C (9 ° F)로 나누고 5 ° C를 곱합니다 (스케일에 비율 단위), 0 ° C (기준점으로부터의 오프셋)를 추가합니다. 이것을 반대로하면 화씨 단위에서 섭씨 단위로 수량을 구하는 공식이 생성됩니다. 100 ° C에서 212 ° F (100 ° C) 사이의 등가로 시작했을 수 있지만, 결국 동일한 공식이 생성됩니다.

따라서 화씨 온도 T [F]의 수치 값을 섭씨 수치 수치 T [C] 로 변환하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

T [C] = ( T [F] − 32) × 5/9.

섭씨 온도의 T [C]를 화씨 온도의 T [F] 로 변환하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

차원 분석은 물리학 및 화학 및 그 수학에서 가장 자주 사용되지만 이러한 분야 외부에서도 일부 응용 프로그램을 찾습니다.

수학

수학 차원 분석의 간단한 응용 프로그램의 형태로 계산되어 부피 n 개 - 볼 (의 고체 공 N 차원), 또는 그 표면의 면적을 상기 N은 -sphere 일 :되는 N 의 차원도를 볼륨 스케일${\ displaystyle x ^ {n},}$ 표면적은 ${\ displaystyle (n-1)}$차원, 스케일 ${\ displaystyle x ^ {n-1}.}$따라서 반지름과 관련 하여 n- ball 의 부피 는${\ displaystyle C_ {n} r ^ {n},}$ 일정한 ${\ displaystyle C_ {n}.}$ 상수를 결정하는 데는 더 복잡한 수학이 필요하지만 형태는 차원 분석만으로 추론하고 확인할 수 있습니다.

재무, 경제 및 회계

재무, 경제 및 회계에서 차원 분석은 주식과 흐름을 구분하는 측면에서 가장 일반적으로 참조됩니다 . 보다 일반적으로 차원 분석은 다양한 재무 비율 , 경제 비율 및 회계 비율 을 해석하는 데 사용됩니다 .

• 예를 들어, P / E 비율 은 시간의 차원 (년 단위)을 가지며 "지급 된 가격을 얻기위한 수입 연도"로 해석 될 수 있습니다.
• 경제학에서 부채 대 GDP 비율 은 또한 년 단위를가집니다 (부채에는 통화 단위가 있고 GDP에는 통화 단위가 있음).
• 재무 분석에서 일부 채권 듀레이션 유형은 시간 차원 (년 단위)도 갖고 있으며 "이자 지불과 명목 상환 사이의 균형점을 맞추는 연도"로 해석 될 수 있습니다.
• 화폐의 속도는 1 년 단위입니다 (GDP / 통화 공급은 통화 단위 / 년 단위) : 1 년에 통화 단위가 유통되는 빈도.
• 이자율은 종종 백분율로 표시되지만 1 / 년 차원의 연간 백분율이 더 적절합니다.

유체 역학

에서는 유체 역학 , 차원 분석 차원 수득 행한다 PI 조건 또는 그룹. 차원 분석의 원칙에 따라 모든 프로토 타입은 시스템의 동작을 설명하는 일련의 용어 또는 그룹으로 설명 될 수 있습니다. 적절한 파이 항 또는 그룹을 사용하면 동일한 차원 관계를 가진 모델에 대해 유사한 파이 항 세트를 개발할 수 있습니다. ^[8] 즉, 파이 용어는 특정 프로토 타입을 나타내는 모델을 개발하는 바로 가기를 제공합니다. 유체 역학의 일반적인 무 차원 그룹은 다음과 같습니다.

• 레이놀즈 수 (Re)는 일반적으로 모든 유형의 유체 문제에서 중요합니다.

  ${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho \, ud} {\ mu}}}$.

• 프 루드 번호 (Fr), 자유 표면이있는 모델링 흐름 :

  ${\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {g \, L}}}.}$

• 압력이 중요한 문제에 사용되는 오일러 수 (Eu) :

  ${\ displaystyle \ mathrm {Eu} = {\ frac {\ Delta p} {\ rho u ^ {2}}}.}$

• 속도가 로컬 음속에 접근하거나 초과하는 고속 흐름에서 중요한 마하 수 (Ma) :

  ${\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {u} {c}},}$여기서 : c 는 로컬 사운드 속도입니다.

차원 분석의 기원은 역사가들에 의해 논란이되었습니다. ^{[9] [10]}

차원 분석의 첫 번째 기록 된 응용 프로그램의 문서에 적립 된 프랑수아 Daviet 상기 토리노 과학 아카데미. Daviet은 마스터 Lagrange 를 교사로 두었습니다 . 그의 기본 작품은 1799 년 아카데미의 행위에 포함되어 있습니다. ^[10]

이것은 의미있는 법칙이 다양한 측정 단위에서 동종 방정식이어야한다는 결론으로 ​​이어졌고, 결과는 나중에 Buckingham π 정리로 공식화되었습니다 . Simeon Poisson 은 또한 Daviet의 1811 년과 1833 년 논문에서 평행 사변형 법칙 의 동일한 문제를 다루었습니다 (vol I, p. 39). ^[11] 1833 년 2 판에서 Poisson 은 Daviet 동질성 대신 차원 이라는 용어를 명시 적으로 도입했습니다 .

1822에서, 중요한 나폴레옹 과학자 조셉 푸리에 제 신용 중요한 기여했다 ^[12] 과 같은 물리 법칙 있다는 생각에 기초하여 F = MA는 물리적 변수들을 측정하기 위해 사용 된 장치와 독립적이어야한다.

James Clerk Maxwell 은 질량, 길이 및 시간을 기본 단위로 구분하고 파생 된 다른 단위를 참조하여 차원 분석을 현대적으로 사용하는 데 중요한 역할을했습니다. ^[13] 맥스웰 "은 세 가지 기본 유닛"으로 길이 시간과 질량을 정의했지만, 그도의 형태로 가정하여 중력 질량 길이 시간에서 유도 될 수 있음에 유의 만유 인력의 법칙 하는 중력 상수 G는 이다 단일로 간주하여 M = T ⁻² L ³ 을 정의 합니다. ^[14] Coulomb의 상수 k _e 가 1로 간주 되는 Coulomb의 법칙의 한 형태를 가정하여 Maxwell은 정전기 전하 단위의 치수가 Q = T ^-1 L ^3/2 M ^1/2 , ^{[15 ]} 이것은 질량을 M = T ⁻² L ³ 방정식으로 대체 한 후 전하가 질량과 동일한 치수를 갖는 결과를 낳습니다. Q = T ⁻² L ³ .

차원 분석은 또한 이해하고 특성화하려는 특정 현상에 관련된 물리량 간의 관계를 도출하는 데 사용됩니다. 하늘이 왜 푸른 지 이해하려고 애쓰던 Rayleigh 경이 1872 년에 이런 방식으로 처음으로 사용되었습니다 ( Pesic 2005 ) . Rayleigh는 그의 1877 년 책 The Theory of Sound 에서이 기술을 처음 출판했습니다 . ^[16]

푸리에의 Theorie de la Chaleur 에서 차원 이라는 단어의 원래 의미 는 기본 단위 지수의 숫자 값이었습니다. 예를 들어 가속도는 길이 단위에 대한 차원 1과 시간 단위에 대한 차원 -2를 갖는 것으로 간주되었습니다. ^[17] 이 약간 가속도의 크기가 T 인 것을 맥스웰 변경된 ^-2 대신 지수로, L. ^[18]

버킹엄 정리 π 관련된 모든 물리적 의미 식 방법을 설명 N 개의 변수 등가의 식으로 다시 쓸 수 N - m의 무 차원 파라미터, m은 차원 행렬의 계수이다. 또한 가장 중요한 것은 주어진 변수에서 이러한 무 차원 매개 변수를 계산하는 방법을 제공한다는 것입니다.

차원 방정식은 차원 분석으로 시작하는 비차 원화를 통해 차원을 줄이거 나 제거 할 수 있으며 시스템의 특성 단위 또는 자연의 자연 단위 에 의한 수량 조정을 포함 합니다. 이를 통해 아래 예에 설명 된대로 시스템의 기본 속성에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.

정의

물리량 의 차원은 길이 , 질량 및 시간과 같은 기본 물리적 차원의 곱으로 표현 될 수 있으며 , 각각은 합리적 힘으로 올라갑니다 . 물리량 의 차원 은 물리량 의 양을 표현하는 데 사용되는 척도 단위 보다 더 기본 입니다. 예를 들어, 질량 은 차원이고 킬로그램은 질량의 양을 표현하기 위해 선택된 특정 스케일 단위입니다. 자연 단위를 제외하고 규모의 선택은 문화적이며 임의적입니다.

기본 물리적 치수에는 여러 가지 선택이 가능합니다. SI 규격 : 치수 다음과 대응하는 심볼의 사용 권장 시간 (T), 길이 (L) 질량 (M), 전류 (I), 절대 온도 (Θ) 물질의 양 (N)와 광도 (제이). 기호는 일반적으로 로마 산세 리프 서체로 작성됩니다 . ^[19] 수학적으로는, 수량의 크기 Q가 주어진다

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {Q} = {\ mathsf {T}} ^ {a} {\ mathsf {L}} ^ {b} {\ mathsf {M}} ^ {c} {\ mathsf {I}} ^ {d} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {e} {\ mathsf {N}} ^ {f} {\ mathsf {J}} ^ {g}}$

여기서 a , b , c , d , e , f , g 는 차원 지수입니다. 다른 물리량은 선형 적으로 독립적 인 기저를 형성하는 한 기본 수량으로 정의 할 수 있습니다 . 예를 들어, SI 기준의 전류 치수 (I)를 전하 의 치수 (Q)로 대체 할 수 있습니다. Q = TI이기 때문입니다.

예를 들어, 물리량 속도 v 의 차원은 다음 과 같습니다.

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ v = {\ frac {\ text {length}} {\ text {time}}} = {\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} = {\ mathsf {T}} ^ {-1} {\ mathsf {L}}}$

물리량 힘 F 의 차원 은

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ F = {\ text {mass}} \ times {\ text {acceleration}} = {\ text {mass}} \ times {\ frac {\ text {length}} { {\ text {time}} ^ {2}}} = {\ frac {{\ mathsf {L}} {\ mathsf {M}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} = {\ mathsf {T}} ^ {-2} {\ mathsf {L}} {\ mathsf {M}}}$

물리량과 그 차원을 표현하기 위해 선택한 단위는 관련이 있지만 동일한 개념은 아닙니다. 물리량의 단위는 관례에 의해 정의되고 일부 표준과 관련됩니다. 예를 들어 길이는 미터, 피트, 인치, 마일 또는 마이크로 미터의 단위를 가질 수 있습니다. 그러나 길이를 표현하기 위해 선택한 길이 단위에 관계없이 모든 길이는 항상 L 치수를 갖습니다. 동일한 물리량의 서로 다른 두 단위에는 관련 변환 계수 가 있습니다. 예를 들어, 1 in = 2.54 cm; 이 경우 (2.54cm / in)는 변환 계수이며, 그 자체로 무 차원입니다. 따라서 해당 변환 계수를 곱해도 물리량의 크기는 변경되지 않습니다.

물리량 호환 기본 치수의 존재 자체에 의문을 제기 한 물리학도있다 ^[20] 이 차원 해석의 유용성을 무효화되지는 않지만.

수학적 속성

T, L, M과 같은 기본 물리적 차원의 주어진 모음에서 형성 될 수있는 차원은 아벨 그룹을 형성합니다 . 동일성은 1로 기록됩니다. ^{[ 인용 필요 ]} L ⁰ = 1 , L의 역수는 1 / L 또는 L ^-1 입니다. 임의의 합리적 거듭 제곱 p 는 L ^{- p} 또는 1 / L ^p 의 역수를 갖는 그룹의 구성원입니다 . 그룹의 연산은 곱셈이며 지수를 처리하는 일반적인 규칙을 사용합니다 ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

이 그룹은 유리수에 대한 벡터 공간 으로 설명 할 수 있으며 , 예를 들어 벡터 ( i , j , k )에 해당하는 차원 기호 T ⁱ L ^j M ^k . 물리적 측정 수량 (동일 치수 또는 비 치수)을 곱하거나 나눌 때, 치수 단위도 마찬가지로 곱하거나 나뉩니다. 이것은 벡터 공간에서 더하기 또는 빼기에 해당합니다. 측정 가능한 양이 합리적 힘으로 올라갈 때, 그 양에 첨부 된 차원 기호도 마찬가지입니다. 이것은 벡터 공간에서 스칼라 곱셈 에 해당합니다.

이러한 차원 기호의 벡터 공간에 대한 기초를 기본 수량 세트라고하고 다른 모든 벡터를 파생 단위라고합니다. 임의의 벡터 공간에서와 같이, 다른 하나를 선택할 수있다 기지 유닛의 다른 시스템을 얻을 수있는 (예를 들어, 선택 전하의 단위 전류가 단위로부터 유도 된 또는 그 반대의 여부).

무 차원 수량의 차원 인 그룹 식별은이 벡터 공간의 원점에 해당합니다.

문제에 관련된 물리량의 단위 집합은 벡터 집합 (또는 행렬)에 해당합니다. 무효는 어떤 숫자 (예를 들어, 설명 m 이 벡터가 0 벡터를 생성하기 위해 결합 될 수있는 방법을). 이것들은 (측정 값으로부터) 수많은 무 차원 수량 {π ₁ , ..., π _m } 을 생성하는 것에 해당합니다 . (사실 이러한 방법은 측정의 거듭 제곱의 다른 다른 공간의 널 부분 공간에 완전히 걸쳐 있습니다.) 측정 된 수량을 함께 곱하고 지수화 하여 일부 파생 수량 X 와 동일한 단위로 무언가를 생성하는 모든 가능한 방법을 표현할 수 있습니다. 일반적인 형태로

${\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ pi _ {i}) ^ {k_ {i}} \ ,.}$

결과적으로 시스템의 물리학에 대한 가능한 모든 상응하는 방정식을 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

${\ displaystyle f (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, ..., \ pi _ {m}) = 0 \ ,.}$

이 제한을 아는 것은 시스템에 대한 새로운 통찰력을 얻기위한 강력한 도구가 될 수 있습니다.

역학

역학 에서 관심있는 물리량의 차원은 기본 차원 T, L, M으로 표현할 수 있습니다. 이들은 3 차원 벡터 공간을 형성합니다. 이것은 기본 치수의 유일한 유효한 선택은 아니지만 가장 일반적으로 사용되는 것입니다. 예를 들어, 힘, 길이 및 질량을 기본 치수로 선택할 수 있으며 (일부는 그랬듯이) 치수 F, L, M과 함께; 이것은 다른 기저에 해당하며 기저의 변경에 의해 이러한 표현 사이에서 변환 할 수 있습니다 . 따라서 기본 차원 집합을 선택하는 것이 관례이며 유용성과 친숙도가 높아집니다. 기준 치수의 선택은 완전히 임의적이지 않습니다. 기준을 형성해야하기 때문입니다 . 공간에 걸쳐 있고 선형 적으로 독립적 이어야합니다 .

예를 들어 F, L, M은 T, L, M과 동일한 기저를 형성하기 때문에 기본 차원 집합을 형성합니다. 전자는 [F = LM / T ² ], L, M 으로 표현할 수 있지만 후자는 [T = (LM / F) ^1/2 ], L, M 으로 표현할 수 있습니다 .

반면에 길이, 속도 및 시간 (T, L, V) 은 두 가지 이유로 인해 역학에 대한 기본 차원 집합을 형성하지 않습니다.

• 다른 기본 차원을 도입하지 않고는 질량 또는 힘과 같은 질량에서 파생 된 모든 것을 얻을 수 없습니다 (따라서 공간에 걸쳐 있지 않음 ).
• 길이와 시간 (V = L / T)으로 표현할 수있는 속도는 중복됩니다 (세트가 선형 적으로 독립적 이지 않음 ).

기타 물리 및 화학 분야

물리학 분야에 따라 하나 또는 다른 확장 된 차원 기호 집합을 선택하는 것이 유리할 수 있습니다. 예를 들어 전자기학에서는 T, L, M 및 Q의 치수를 사용하는 것이 유용 할 수 있습니다. 여기서 Q는 전하 의 치수를 나타냅니다 . 에서는 열역학 치수의 기본 세트는 종종 온도 치수, Θ을 포함하도록 확장된다. 화학에서 물질 의 양 (분자 수를 Avogadro 상수 로 나눈 값 ≈6.02 × 10 ²³  mol ⁻¹ )은 기본 차원 N으로도 정의됩니다. 상대 론적 플라즈마 와 강한 레이저 펄스 의 상호 작용 에서 충돌없는 Vlasov 방정식 의 대칭 속성과 연결된 무 차원 상대 론적 유사성 매개 변수 는 다음 과 같이 구성됩니다. 전자기 벡터 전위와 더불어 플라즈마, 전자 및 임계 밀도. 다양한 물리학 분야에서 사용되는 차원 또는 차원 수를 선택하는 것은 어느 정도 임의적이지만 사용의 일관성과 의사 소통의 용이성은 일반적이고 필요한 기능입니다.

다항식과 초월 함수

지수 함수 , 삼각 함수 및 로그 함수 와 같은 초월 함수 또는 불균일 다항식에 대한 스칼라 인수 는 차원이없는 수량 이어야합니다 . (참고 :이 요구 사항은 특정 차원 수량의 제곱이 차원이없는 아래 설명 된 Siano의 방향 분석에서 다소 완화됩니다.)

무 차원 숫자에 대한 대부분의 수학적 정체성은 간단한 방식으로 차원 수량으로 변환되지만, 비율의 로그에는주의를 기울여야합니다. 로그 (a / b) = log a − log b, 여기서 로그는 어떤 밑에서든 취합니다. 무 차원 숫자 a와 b의 경우, 그러나 a와 b가 차원이면 유지 되지 않습니다 .이 경우 왼쪽은 잘 정의되어 있지만 오른쪽은 그렇지 않기 때문입니다.

유사하게 차원 양의 단항식 ( x ⁿ )을 평가할 수 있지만 차원 양에 대한 무 차원 계수를 갖는 혼합 차수의 다항식을 평가할 수 없습니다. x ^2의 경우 (3 m) ²  = 9 m ² 식이 의미가 있습니다. ), x ²  +  x의 경우 (3 m) ²  + 3 m = 9 m ²  + 3 m 식은 의미가 없습니다.

그러나 계수가 무 차원이 아닌 적절하게 선택된 물리량이면 혼합 차수의 다항식이 의미가있을 수 있습니다. 예를 들면

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9.8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2}}} \ right) \ cdot t ^ {2} + \ left (500 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}} \ right) \ cdot t.}$

중력 가속도가 초당 9.8 미터이고 초기 상승 속도가 초당 500 미터 인 경우 시간 t 에서 물체가 상승하는 높이  입니다. t 가 초 단위 일 필요는 없습니다 . 예를 들어 t  = 0.01 분 이라고 가정 합니다. 그런 다음 첫 번째 용어는

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9.8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2} }} \ right) \ cdot (0.01 {\ text {분}}) ^ {2} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ text {minute}} {\ text {second}}} \ right) ^ {2} \ cdot {\ text {meter}} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ right) \ cdot 60 ^ {2} \ cdot {\ text {meter}}. \ end { 정렬}}}$

단위 통합

차원 물리량 Z 의 값은 차원 내의 단위 [ Z ]와 무 차원 수치 계수 n 의 곱으로 기록됩니다 . ^[21]

${\ displaystyle Z = n \ times [Z] = n [Z]}$

같은 치수의 수량을 더하거나 빼거나 비교할 때, 이러한 수량의 숫자 값을 직접 더하거나 뺄 수 있도록 일관된 단위로 표현하는 것이 편리합니다. 그러나 개념적으로는 다른 단위로 표현 된 동일한 차원의 수량을 추가하는 데 문제가 없습니다. 예를 들어, 1 피트에 1 미터를 더하면 길이가되지만 단순히 1과 1을 더하여 길이를 도출 할 수는 없습니다. 같은 차원의 양의 비율이며 무 차원 단위와 동일한 변환 계수 가 필요합니다.

${\ displaystyle 1 \ {\ mbox {ft}} = 0.3048 \ {\ text {m}} \}$ ~와 동일하다 ${\ displaystyle 1 = {\ frac {0.3048 \ {\ text {m}}} {1 \ {\ text {ft}}}}. \}$

요인 ${\ displaystyle 0.3048 \ {\ frac {\ text {m}} {\ mbox {ft}}}}$무 차원 1과 동일하므로이 변환 계수를 곱해도 아무것도 변경되지 않습니다. 그런 다음 동일한 차원의 두 수량을 추가하지만 다른 단위로 표현할 때, 해당 수치를 더하거나 뺄 수 있도록 해당 수량을 동일한 단위로 변환하는 데 기본적으로 무 차원 1 인 적절한 변환 계수가 사용됩니다.

이러한 방식으로 만 다른 단위의 같은 차원 수량을 추가하는 것이 의미가 있습니다.

위치 대 변위

차원 분석에 대한 일부 논의는 모든 양을 수학적 벡터로 암시 적으로 설명합니다. (수학에서 스칼라는 벡터의 특수한 경우로 간주됩니다. ^{[ 인용 필요 ]} 벡터는 다른 벡터에 더하거나 뺄 수 있으며, 특히 스칼라로 곱하거나 나눌 수 있습니다. 위치를 정의하는 데 벡터가 사용되는 경우 이는 암시 적 참조 점 : 원점 . 이것은 유용하고 종종 완벽하게 적절하여 많은 중요한 오류를 포착 할 수 있지만 물리의 특정 측면을 모델링하는 데 실패 할 수 있습니다.보다 엄격한 접근 방식은 위치와 변위 (또는 모멘트)를 구별해야합니다. 시간 대 기간 또는 절대 온도 대 온도 변화).

주어진 원점에 대한 위치와 그 사이의 거리가있는 선상의 점을 고려하십시오. 위치와 변위는 모두 길이 단위를 갖지만 그 의미는 서로 바꿔서 사용할 수 없습니다.

• 2 개의 변위를 추가하면 새로운 변위가 생성됩니다 (10 보를 걷는 다음 20 보를 걷는 것은 30 보 앞으로 나아갑니다).
• 위치에 변위를 추가하면 새 위치가 생성됩니다 (교차로에서 한 블록 아래로 걸어 가면 다음 교차로로 이동합니다).
• 두 위치를 빼면 변위가 발생합니다.
• 그러나 두 위치를 추가 할 수는 없습니다 .

이것은 아핀 수량 ( 위치와 같은 아핀 공간에 의해 모델링 된 것 )과 벡터 수량 ( 변위와 같은 벡터 공간에 의해 모델링 된 것 ) 사이의 미묘한 차이를 보여줍니다 .

• 벡터 양은 서로 더해져 새로운 벡터 양을 생성 할 수 있으며, 벡터 양은 적절한 아핀 양에 추가 될 수 있으며 (벡터 공간 은 아핀 공간 에 작용 ), 새로운 아핀 양을 생성합니다.
• 적절한 양은 더할 수 없지만 빼서 벡터 인 상대적인 양을 산출 할 수 있으며 이러한 상대적 차이 는 서로 또는 아핀 양에 더해질 수 있습니다.

적절하게 위치는 아핀 길이의 치수를 가지며 변위는 벡터 길이의 치수를 갖습니다 . 아핀 단위에 숫자를 할당하려면 측정 단위뿐만 아니라 기준점 도 선택해야 하며 벡터 단위에 숫자를 할당 하려면 측정 단위 만 필요합니다.

따라서 일부 물리량은 벡터 수량으로 더 잘 모델링되는 반면 다른 물리량은 아핀 표현을 필요로하는 경향이 있으며 그 차이는 차원 분석에 반영됩니다.

이 구별은 온도의 경우 특히 중요하며, 일부 눈금에서는 절대 0 의 숫자 값이 원점 0이 아닙니다. 절대 0의 경우

−273.15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ −459.67 ° F,

여기서 기호 ≘은에 해당 합니다. 각 온도 눈금의 이러한 값이 일치 하더라도 서로 다른 시작점에서 동일한 끝점까지의 거리가 서로 다른 양이며 일반적으로 동일시 될 수없는 것과 같은 방식으로 서로 다른 양을 나타냅니다.

온도 차이의 경우

1K = 1 ° C ≠ 1 ° F (-17 ° C) = 1 ° R.

(여기서 ° R은 Réaumur 척도가 아니라 Rankine 척도를 나타냅니다 .) 온도 차이에 대한 단위 변환은 예를 들어 1 ° F / 1K (비율이 일정한 값은 아니지만)를 곱하면됩니다. 그러나 이러한 척도 중 일부는 절대 영도에 해당하지 않는 기원을 가지고 있기 때문에 한 온도 척도에서 다른 척도로 변환하려면이를 고려해야합니다. 결과적으로 1K가 절대 온도가 −272.15 ° C인지 또는 온도차가 1 ° C인지 모호한 경우 간단한 치수 분석으로 오류가 발생할 수 있습니다.

방향 및 기준 틀

기준점 문제와 유사하게 방향 문제가 있습니다. 2 차원 또는 3 차원 변위는 단순한 길이가 아니라 방향 과 함께 길이 입니다. (이 문제는 1 차원에서 발생하지 않거나 오히려 양수와 음수를 구분하는 것과 동일합니다.) 따라서 다차원 공간에서 2 차원 양을 비교하거나 결합하려면 방향도 필요합니다. 비교해야합니다. (A)에 대한 참조 프레임 .

이것은 아래에서 논의 되는 확장 , 즉 Huntley의 방향성 치수와 Siano의 방향 분석으로 이어집니다.

간단한 예 : 고조파 발진기의주기

힘 g의 중력에 매달려있는 스프링 상수 k 가있는 이상적인 선형 스프링에 부착 된 질량 m 의 진동 주기 T 는 얼마입니까? 이 기간은 변수 T , m , k , g 에있는 일부 무 차원 방정식의 T 에 대한 해입니다 . 네 가지 수량의 차원은 다음과 같습니다. T [T]; m [M]; k [M / T ² ]; 및 g [L / T ² ]. 이것들로부터 우리는 우리가 선택한 변수들의 힘의 무차 원적 곱을 하나만 만들 수 있습니다${\ displaystyle G_ {1}}$ = ${\ displaystyle T ^ {2} k / m}$ [T ² · M / T ² / M = 1] , 퍼팅${\ displaystyle G_ {1} = C}$어떤 무 차원 상수에 대해 C 는 구한 무 차원 방정식을 제공합니다. 변수의 거듭 제곱의 무 차원 곱을 무 차원 변수 그룹이라고도합니다. 여기서 "그룹"이라는 용어는 수학적 그룹이 아닌 "수집"을 의미 합니다. 그들은 종종 무 차원 숫자 라고도 합니다 .

변수 g 는 그룹에서 발생하지 않습니다. g 를 k , m , T 와 결합하는 차원없는 거듭 제곱 곱을 형성하는 것은 불가능하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다 . 왜냐하면 g 는 차원 L을 포함하는 유일한 양 이기 때문 입니다. 이것은이 문제에서 g 가 무관 하다는 것을 의미합니다 . 차원 분석은 때때로 문제에서 일부 수량 의 부적절 성 또는 추가 매개 변수의 필요성에 대한 강력한 진술을 생성 할 수 있습니다 . 문제를 적절하게 설명하기에 충분한 변수를 선택했다면,이 주장에서 봄의 질량주기가 g와 무관하다는 결론을 내릴 수 있습니다 . 지구 나 달에서 동일합니다. 우리 문제에 대한 힘의 곱이 존재 함을 보여주는 방정식은 완전히 동등한 방식으로 작성 될 수 있습니다.${\ displaystyle T = \ kappa {\ sqrt {\ tfrac {m} {k}}}}$, 일부 무 차원 상수 κ (${\ displaystyle {\ sqrt {C}}}$ 원래 무 차원 방정식에서).

차원 분석 이 상황에 대한 물리적 설명에 속할 것으로 직관적으로 예상 하는 변수 ( g , 여기)를 거부하는 경우에 직면했을 때 거부 된 변수가 실제로 관련성이 있지만 다른 관련 변수가 생략되며, 거부 된 변수와 결합하여 무 차원 수량을 형성 할 수 있습니다. 그러나 여기서는 그렇지 않습니다.

차원 분석이 단 하나의 차원없는 그룹 만 생성 할 때 여기에서 알 수없는 함수가없고 솔루션이 "완전"하다고합니다 . κ 와 같은 알려지지 않은 차원없는 상수가 여전히 포함될 수 있습니다 .

더 복잡한 예 : 진동하는 와이어의 에너지

길이 ℓ (L) 의 진동 와이어가 진폭 A (L) 로 진동하는 경우를 고려하십시오 . 와이어는 선형 밀도 ρ (M / L)이고 장력 s (LM / T ² )를 받고 있으며 와이어 의 에너지 E (L ² M / T ² ) 를 알고 싶습니다 . π ₁ 과 π _2를 다음 과 같이 선택한 변수 의 거듭 제곱 의 2 차원이없는 곱 이라고합시다.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ pi _ {1} & = {\ frac {E} {As}} \\\ pi _ {2} & = {\ frac {\ ell} {A}}. \ 끝 {정렬}}}$

와이어의 선형 밀도는 관련되지 않습니다. 발견 된 두 그룹은 등가 형식으로 결합 될 수 있습니다.

${\ displaystyle F \ left ({\ frac {E} {As}}, {\ frac {\ ell} {A}} \ right) = 0,}$

여기서 F 는 알려지지 않은 함수 또는 동등하게

${\ displaystyle E = Asf \ left ({\ frac {\ ell} {A}} \ right),}$

여기서 f 는 다른 알려지지 않은 함수입니다. 여기서 알려지지 않은 함수는 우리의 해가 현재 불완전하다는 것을 의미하지만, 차원 분석은 우리에게 분명하지 않았을 수있는 무언가를 제공했습니다. 에너지는 장력의 첫 번째 힘에 비례합니다. 추가 분석 분석을 제외하고는 알려지지 않은 함수 f 의 형태를 찾기위한 실험을 진행할 수 있습니다 . 그러나 우리의 실험은 차원 분석이 없을 때보 다 간단합니다. 에너지가 장력에 비례하는지 확인하기 위해 아무것도 수행하지 않습니다. 또는 에너지가 ℓ에 비례한다고 추측 할 수 있으므로 E = ℓs 라고 추론 할 수 있습니다. 가설을 실험하고 형성하는 데 도움이되는 차원 분석의 힘이 분명해집니다.

차원 분석의 힘은 위에 주어진 상황과 달리 더 복잡하고 관련된 변수 세트가 명확하지 않으며 근본적인 방정식이 절망적으로 복잡한 상황에 적용될 때 실제로 분명해집니다. 예를 들어, 강바닥에 앉아있는 작은 조약돌을 생각해보십시오. 강이 충분히 빨리 흐르면 실제로 조약돌이 올라와 물과 함께 흐르게됩니다. 이것은 어떤 임계 속도에서 발생합니까? 추측 된 변수를 정렬하는 것은 이전처럼 쉽지 않습니다. 그러나 차원 분석은 이와 같은 문제를 이해하는 데 강력한 도움이 될 수 있으며 일반적으로 기본 방정식과 제약 조건을 제대로 이해하지 못하는 복잡한 문제에 적용 할 수있는 최초의 도구입니다. 이러한 경우 답은 차원 분석으로 해석 될 수 있는 레이놀즈 수 와 같은 무 차원 수 에 따라 달라질 수 있습니다.

세 번째 예 : 회전 디스크의 수요 대 용량

회전 디스크의 치수 분석 및 수치 실험

축 두께 t (L) 및 반경 R (L) 의 얇고 단단한 평행면 회전 디스크의 경우를 고려하십시오 . 디스크 밀도 갖는다 ρ (M / L ³ ), 각속도로 회전 ω (T ^-1 ) 및 응력이 리드 S (T ^-2 L ^-1 M) 물질이다. 디스크가 반경에 비해 얇고 디스크의면이 축 방향으로 자유롭게 움직일 수 있으며 평면 응력 구성 관계가 유효한 것으로 가정 할 수있는 경우이 문제에 대해 Lame에 의해 주어진 이론적 선형 탄성 솔루션이 있습니다. 디스크가 반경에 비해 두꺼워지면 평면 응력 솔루션이 무너집니다. 디스크가 자유면에서 축 방향으로 구속되면 평면 변형 상태가 발생합니다. 그러나 이것이 사실이 아니라면 응력의 상태는 3 차원 탄성을 고려하여 결정될 수 있으며이 경우에 대한 알려진 이론적 해결책이 없습니다. 따라서 엔지니어는 5 가지 변수 간의 관계를 설정하는 데 관심이있을 수 있습니다. 이 경우에 대한 차원 분석은 다음 (5-3 = 2)의 비 차원 그룹으로 이어집니다.

수요 / 능력 = ρR ² ω ² / S

두께 / 반지름 또는 종횡비 = t / R

예를 들어 유한 요소법 을 이용한 수치 실험을 통해 그림과 같이 두 개의 비 차원 그룹 간의 관계 특성을 얻을 수 있습니다. 이 문제는 2 개의 비 차원 그룹 만 포함하므로 전체 그림이 단일 플롯으로 제공되며 회전 디스크에 대한 설계 / 평가 차트로 사용할 수 있습니다 ^.

Huntley의 확장 : 물질의 방향과 양

Huntley ( Huntley 1967 )는 고려중인 수량에서 새로운 독립 차원을 발견함으로써 차원 분석이 더욱 강력해질 수 있다고 지적했습니다.${\ displaystyle m}$차원 행렬의. 그는이를 위해 두 가지 접근 방식을 도입했습니다.

• 벡터 성분의 크기는 차원에서 독립적 인 것으로 간주됩니다. 예를 들어, 미분화 된 길이 차원 L이 아니라 L _x 가 x 방향의 차원을 나타내는 등의 방식을 가질 수 있습니다 . 이 요구 사항은 궁극적으로 물리적으로 의미있는 방정식 (스칼라, 벡터 또는 텐서)의 각 구성 요소가 차원 적으로 일관되어야한다는 요구 사항에서 비롯됩니다.
• 물질량의 척도로서 질량은 관성의 척도로 질량과 차원 적으로 독립적 인 것으로 간주되어야합니다.

첫 번째 접근 방식의 유용성에 대한 예로 수직 속도 요소로 발사했을 때 포탄이 이동 하는 거리 를 계산한다고 가정 합니다.${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$ 수평 속도 성분 ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$, 평평한 표면에서 발사된다고 가정합니다. 지정 길이를 사용하지 않는다고 가정하면 관심있는 양은 다음과 같습니다.${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$, ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$, 둘 다 T ^-1 L, R 치수, 이동 거리, 치수 L, g 치수 T- ² L 의 중력 하향 가속도 .

이 네 가지 양으로 범위 R에 대한 방정식이 다음과 같이 작성 될 수 있다는 결론을 내릴 수 있습니다.

${\ displaystyle R \ propto V _ {\ text {x}} ^ {a} \, V _ {\ text {y}} ^ {b} \, g ^ {c}. \,}$

또는 차원

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} = \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {a + b} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c} \,}$

그것을 추론 할 수있는 ${\ displaystyle a + b + c = 1}$ 과 ${\ displaystyle a + b + 2c = 0}$, 하나의 지수를 미정으로 남깁니다. 이것은 두 개의 기본 차원 T와 L과 하나의 방정식에 네 개의 매개 변수가 있기 때문에 예상됩니다.

그러나 지정 길이 치수를 사용하면 ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$치수는 T ⁻¹ L _x ,${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$T ⁻¹ L _y , R 은 L _x , g 는 T ⁻² L _y . 차원 방정식은 다음과 같습니다.

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}} = \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c}}$

그리고 우리는 다음과 같이 완전히 해결할 수 있습니다. ${\ displaystyle a = 1}$, ${\ displaystyle b = 1}$ 과 ${\ displaystyle c = -1}$. 방향 길이 치수를 사용하여 얻은 연 역력의 증가는 분명합니다.

그의 두 번째 접근 방식에서 Huntley는 관성 (관성 질량)의 척도 인 질량과 물질의 양의 척도 인 질량을 구별하는 것이 때때로 유용하다고 주장합니다 (예 : 유체 역학 및 열역학). 물질의 양은 Huntley에 의해 (a) 관성 질량에 비례하지만 (b) 관성 특성을 암시하지 않는 양으로 정의됩니다. 정의에 추가 제한이 추가되지 않습니다.

예를 들어, Poiseuille의 법칙 의 도출을 고려하십시오 . 원형 파이프를 통해 점성 유체의 질량 흐름 속도를 찾고 싶습니다. 관성 질량과 실질적 질량을 구분하지 않고 관련 변수로 선택할 수 있습니다.

• ${\ displaystyle {\ dot {m}}}$치수 T ⁻¹ M 의 질량 유량
• ${\ displaystyle p _ {\ text {x}}}$치수가 T ⁻² L ⁻² M 인 파이프를 따른 압력 구배
• ρ 치수 L ⁻³ M 의 밀도
• η 치수 T ^-1 L ^-1 M 의 동적 유체 점도
• r 치수가 L 인 파이프의 반경

세 가지 기본 변수가 있으므로 위의 다섯 방정식은 우리가 취할 수있는 두 개의 차원없는 변수를 생성합니다. ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ dot {m}} / \ eta r}$ 과 ${\ displaystyle \ pi _ {2} = p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5} / {\ dot {m}} ^ {2}}$ 그리고 우리는 차원 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

${\ displaystyle C = \ pi _ {1} \ pi _ {2} ^ {a} = \ left ({\ frac {\ dot {m}} {\ eta r}} \ right) \ left ({\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5}} {{\ dot {m}} ^ {2}}} \ right) ^ {a}}$

여기서 C 와 a 는 결정되지 않은 상수입니다. 치수와 관성 질량을 구별하면${\ displaystyle M _ {\ text {i}}}$ 그리고 차원이있는 물질의 양 ${\ displaystyle M _ {\ text {m}}}$, 질량 유량 및 밀도는 질량 매개 변수로 물질의 양을 사용하고 압력 구배 및 점도 계수는 관성 질량을 사용합니다. 이제 4 개의 기본 매개 변수와 하나의 무 차원 상수가 있으므로 차원 방정식을 작성할 수 있습니다.

${\ displaystyle C = {\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {4}} {\ eta {\ dot {m}}}}}$

이제 C 만 결정되지 않은 상수 (다음과 같음${\ displaystyle \ pi / 8}$차원 분석 외부의 방법으로). 이 방정식은 Poiseuille의 법칙 을 산출하기 위해 질량 유량에 대해 풀 수 있습니다 .

물질의 양을 독립적 인 양 차원으로 인식 한 Huntley는 적용 가능한 문제에서 분명히 성공적이지만, 물질의 양에 대한 그의 정의는 두 가지 요건 (a)과 (b)를 넘어서는 특이성이 부족하기 때문에 해석이 가능합니다. 그것을 위해 가정. 주어진 물질에 대해 물질의 SI 차원 양 (단위 몰 포함) 은 물질 양의 척도로 Huntley의 두 가지 요구 사항을 충족하며 Huntley의 개념이 적용되는 모든 차원 분석 문제에서 물질의 양으로 사용될 수 있습니다.

그러나 Huntley의 지정 길이 치수 개념에는 몇 가지 심각한 제한이 있습니다.

• 외적을 포함하는 벡터 방정식을 잘 다루지 않습니다 .
• 또한 각도 를 물리적 변수로 사용하는 것도 잘 처리하지 않습니다 .

또한 L, L _x , L _y , L _z , 기호를 해당 문제와 관련된 물리적 변수에 할당하는 것도 매우 어렵습니다 . 그는 물리적 문제의 "대칭"을 포함하는 절차를 호출합니다. 이것은 종종 안정적으로 적용하기가 매우 어렵습니다. "대칭"개념이 호출되는 문제의 부분이 명확하지 않습니다. 힘이 작용하는 것은 물리적 인 신체의 대칭입니까, 힘이 작용하는 지점, 선 또는 영역에 대한 것입니까? 하나 이상의 신체가 다른 대칭과 관련되어 있다면 어떨까요?

원통형 튜브에 부착 된 구형 기포를 생각해보십시오. 여기서 두 부분의 압력 차이에 따라 공기의 유속이 필요합니다. 연결된 부품에 포함 된 공기 점도의 Huntley 확장 치수는 얼마입니까? 두 부분의 압력 확장 치수는 얼마입니까? 같거나 다른가요? 이러한 어려움은 실제 문제에 Huntley의 지정 길이 치수를 제한적으로 적용하는 원인이됩니다.

Siano의 확장 : 방향 분석

관례 상 각도 는 무 차원 수량으로 간주됩니다. 예를 들어, 점 질량이 x 축 위의 속도 v 및 각도 θ 에서 원점 ( x , y ) = (0, 0) 에서 시작되는 발사체 문제를 다시 생각해보십시오. 음의 y 축. 질량이 x 축으로 되돌아가는 지점 R 범위를 찾는 것이 바람직합니다 . 기존 분석에서는 무 차원 변수 π = R g / v ² 를 산출 하지만 R 과 θ 간의 관계에 대한 통찰력을 제공하지 않습니다 .

Siano는 ( 1985 I , 1985은 II ) 헌 틀리의 연출 치수하여 교환 할 것을 제안했다 배 양성 심볼들 1 _X  1 _{, Y를}  1 _Z를 나타내고, 벡터 방향으로, 그리고 orientationless 기호 1 ₀ . 따라서 Huntley의 L _x 는 L1 _x가 되고 L은 길이의 치수를 지정 하고 1 _x 는 방향을 지정합니다. Siano는 또한 방향 기호가 자체 대수를 가지고 있음을 보여줍니다. 1 _i ⁻¹ = 1 _i 라는 요구 사항과 함께 방향 기호에 대한 다음 곱셈 테이블이 생성됩니다.

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | cccc} & \ mathbf {1_ {0}} & \ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {y}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {z}}} \\\ hline \ mathbf {1_ {0}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z }} \\\ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} \\\ mathbf {1_ {\ text {y}}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} \\\ mathbf {1 _ {\ text {z}}} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} \ end {array}}}$

방향 기호는 그룹 ( Klein 4 그룹 또는 "Viergruppe")을 형성합니다. 이 시스템에서 스칼라는 "문제의 대칭"에 관계없이 항상 identity 요소와 동일한 방향을 갖습니다. 벡터 인 물리량은 예상되는 방향을 갖습니다 . _z 방향의 힘 또는 속도는 1 _z 의 방향을 갖습니다 . 각도의 경우 z 평면에 있는 각도 θ 를 고려하십시오 . θ 가 예각 중 하나 인 z 평면에 직각 삼각형을 형성합니다 . 각도에 인접한 직각 삼각형의 변은 1 _x 방향을 가지며 반대쪽은 방향 1 _y를 갖습니다 . (사용 이후 ~ 배 양성 당량을 나타내도록) 탄 ( θ를 ) = θ  + ... 1 ~ _Y / 1 _X 우리는 XY 평면에서의 각도 배향 가져야한다는 결론 1 _Y / 1 _X = 1 개 _{, Z를} 인 불합리하지 않습니다. 유사한 추론은 sin ( θ ) 이 방향 1 _z 를 갖고 cos ( θ ) 가 방향 1 _0을 갖는다 는 결론을 강제합니다 . 예를 들어, a cos ( θ ) + b sin ( θ ) 형식의 물리 방정식의 해가 없다는 결론을 내립니다 . 여기서 a 와 b 는 실수 스칼라입니다. 다음과 같은 표현식에 유의하십시오.${\ displaystyle \ sin (\ theta + \ pi / 2) = \ cos (\ theta)}$ 각도 합계 공식의 특수한 경우이므로 치수가 일치하지 않으며 적절하게 작성해야합니다.

${\ displaystyle \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z}} + b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) = \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z} }) \ cos (b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) + \ sin \ left (b \, 1 _ {\ text {z}}) \ cos (a \, 1 _ {\ text {z} }\권리),}$

어느 것을 위해 ${\ displaystyle a = \ theta}$ 과 ${\ displaystyle b = \ pi / 2}$ 수확량 ${\ displaystyle \ sin (\ theta \, 1 _ {\ text {z}} + [\ pi / 2] \, 1 _ {\ text {z}}) = 1 _ {\ text {z}} \ cos (\ theta \, 1 _ {\ text {z}})}$. Siano는 3 차원 공간에서 방향이있는 기하학적 각도와 공간 방향이없는 시간 기반 진동과 관련된 위상 각도를 구분합니다. 즉, 위상 각도의 방향은 다음과 같습니다.${\ displaystyle 1_ {0}}$.

방향 기호를 물리량에 할당하고 물리 방정식이 방향 적으로 균질해야한다는 요구 사항을 실제로 차원 분석과 유사한 방식으로 사용하여 허용 가능한 물리적 문제 해결에 대한 정보를 조금 더 얻을 수 있습니다. 이 접근법에서는 차원 방정식을 설정하고 가능한 한 해결합니다. 물리 변수의 최저 거듭 제곱이 분수이면 해의 양변이 모든 거듭 제곱이 적분되도록 제곱합니다. 이것은 그것을 "정상적인 형태"로 만든다. 그런 다음 방향 방정식을 해결하여 방향 기호의 알 수없는 힘에 대해 더 제한적인 조건을 부여하여 차원 분석만으로 제공하는 것보다 더 완전한 솔루션에 도달합니다. 종종 추가 정보는 특정 변수의 거듭 제곱 중 하나가 짝수 또는 홀수라는 것입니다.

예를 들어, 발사체 문제의 경우 방향 기호 θ를 사용 하여 xy 평면에 있으면 차원 1 _z를 가지며 발사체 R 의 범위 는 다음과 같은 형식이됩니다.

${\ displaystyle R = g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c} {\ text {의미}} {\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ mathrm {x}} \ sim \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ text {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \, 1 _ {\ mathsf {z}} ^ {c}. \,}$

차원 균질성은 이제 a = −1 및 b = 2를 올바르게 산출 하고 방향 균질성은 다음을 요구합니다.${\ displaystyle 1_ {x} / (1_ {y} ^ {a} 1_ {z} ^ {c}) = 1_ {z} ^ {c + 1} = 1}$. 즉, c 는 홀수 정수 여야합니다. 사실 세타 필요한 기능 것 죄 ( θ ) COS ( θ ) 의 홀수 번째 파워 이루어진 시리즈 인 θ .

위의 곱셈표를 사용하여 테일러 수열의 sin ( θ ) 및 cos ( θ ) 는 방향 적으로 균질 한 반면 cos ( θ ) + sin ( θ ) 및 exp ( θ ) 와 같은 식은 그렇지 않고 (올바르게 ) 비 물리적 인 것으로 간주됩니다.

Siano의 방향 분석은 무 차원이라는 기존의 각도 양 개념과 호환되며, 방향 분석 내에서 라디안 은 여전히 ​​무 차원 단위로 간주 될 수 있습니다. 수량 방정식의 방향 분석은 일반 차원 분석과 별도로 수행되어 치수 분석을 보완하는 정보를 생성합니다.

상수

Poiseuille의 법칙 문제의 C 및 다음과 같이 얻은 결과에서 발생하는 무 차원 상수 ${\ displaystyle \ kappa}$위에서 논의한 스프링 문제는 기본 물리학에 대한보다 상세한 분석에서 비롯되며 종종 일부 미분 방정식을 통합 할 때 발생합니다. 차원 분석 자체는 이러한 상수에 대해 거의 말할 필요가 없지만 이들이 매우 자주 순서 단위의 크기를 갖는다는 것을 아는 것이 유용합니다. 이 관찰을 통해 관심있는 현상에 대한 " 봉투의 뒤 "계산을 수행 할 수 있으므로이를 측정하거나 중요한지 여부 등을 판단하기위한 실험을보다 효율적으로 설계 할 수 있습니다.

형식주의

역설적이게도 차원 분석은 기본 이론의 모든 매개 변수가 차원이없는 경우에도 유용한 도구가 될 수 있습니다. 예를 들어 Ising 모델 과 같은 격자 모델을 사용하여 위상 전이 및 중요 현상을 연구 할 수 있습니다. 이러한 모델은 순전히 차원이없는 방식으로 공식화 될 수 있습니다. 임계점에 더 가까이 다가 가면 격자 모델의 변수가 상관 관계가있는 거리 (소위 상관 길이,${\ displaystyle \ xi}$) 점점 커집니다. 이제 상관 길이는 임계 현상과 관련된 관련 길이 척도이므로, 예를 들어 격자 사이트 당 자유 에너지의 비 분석적 부분이 다음과 같아야한다고 "차원 적 근거"에서 추측 할 수 있습니다.${\ displaystyle \ sim 1 / \ xi ^ {d}}$ 어디 ${\ displaystyle d}$ 격자의 치수입니다.

MJ Duff , ^{[20] [23]} 와 같은 일부 물리학 자 들은 물리학 법칙이 본질적으로 차원 이 없다고 주장했습니다 . 우리가 길이, 시간, 질량에 양립 할 수없는 차원을 할당했다는 사실은,이 관점에 따르면 단지 관습적인 문제 일뿐입니다. 현대 물리학이 출현하기 전에는 질량을 연관시킬 방법이 없었기 때문입니다. 서로 길이, 시간. 물리학의 기본 방정식에서 세 개의 독립적 인 차원 상수 인 c , ħ , G 는 질량, 시간 및 길이를 서로 변환하기위한 단순한 변환 인자로 간주되어야합니다.

격자 모델의 중요한 속성의 경우와 마찬가지로 적절한 스케일링 한계에서 차원 분석 결과를 복구 할 수 있습니다. 예를 들어, 역학의 차원 분석은 상수 ħ , c 및 G 를 다시 삽입하고 (하지만 이제는 그것들이 무 차원이라고 간주 할 수 있음) 수량 간의 비 특수 관계가 한계에 존재하도록 요구 함으로써 파생 될 수 있습니다.${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$, ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$ 과 ${\ displaystyle G \ rightarrow 0}$. 중력장과 관련된 문제에서 후자의 한계는 장이 유한하게 유지되도록해야합니다.

다음은 에너지, 운동량 및 힘의 차원과 관련된 물리학에서 일반적으로 발생하는 표현의 표입니다. ^{[24] [25] [26]}

SI 단위

에너지, E T −2 L 2 M	표현	명명법
기계적	${\ displaystyle Fd}$	F = 힘 , d = 거리
	${\ displaystyle S / t \ ​​equiv Pt}$	S = 행동 , t = 시간, P = 전력
	${\ displaystyle mv ^ {2} \ equiv pv \ equiv p ^ {2} / m}$	m = 질량 , v = 속도 , p = 운동량
	${\ displaystyle I \ omega ^ {2} \ equiv L \ omega \ equiv L ^ {2} / I}$	L = 각운동량 , I = 관성 모멘트 , ω = 각속도
이상 기체	${\ displaystyle pV \ equiv NT}$	p = 압력, 부피 , T = 온도 N = 물질의 양
파도	${\ displaystyle IAt \ equiv SAt}$	I = 파동 강도 , S = 포인팅 벡터
전자기	${\ displaystyle q \ phi}$	q = 전하 , ϕ = 전위 (변화의 경우 전압 )
	${\ displaystyle \ varepsilon E ^ {2} V \ equiv B ^ {2} V / \ mu}$	E = 전기장 , B = 자기장 , ε = 유전율 , μ = 투자율 , V = 3d 부피
	${\ displaystyle pE \ equiv mB \ equiv IAB}$	p = 전기 쌍극자 모멘트 , m = 자기 모멘트, A = 면적 (전류 루프에 의해 경계), I = 루프의 전류