기하학
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기하학 ( 고대 그리스어 에서 유래 : γεωμετρία ; 지리- "지구",- 메 트론 "측정")은 산술 과 함께 가장 오래된 수학 분야 중 하나입니다 . 거리, 모양, 크기 및 그림의 상대적 위치와 관련된 공간의 속성과 관련이 있습니다. [1] 수학자 기하학의 분야에서 작동하는 사람들은라고 기하 .
19 세기까지 형상은 거의 독점적 헌신되었다 유클리드 기하학 , [A] 의 개념을 포함하는 점 , 선 , 평면 , 거리 , 각도 , 표면 및 곡선 기본 개념을 같이. [2]
19 세기 동안 여러 발견이 기하학의 범위를 극적으로 확대했습니다. 이러한 가장 오래된 발견 중 하나는 표면 의 가우스 곡률 이 유클리드 공간의 특정 임베딩 과 독립적 이라고 대략적으로 주장하는 Gauss 의 Theorema Egregium (놀라운 정리)입니다 . 이것은 표면이 본질적 으로 연구 될 수 있음을 의미합니다. 즉 , 독립형 공간과 마찬가지로 다양체 이론 과 리만 기하학 으로 확장되었습니다 .
19 세기 후반, 평행 가정 ( 비 유클리드 기하학 )이없는 기하학 은 모순없이 개발 될 수있는 것으로 나타났습니다 . 일반 상대성 이론의 기초가되는 기하학 은 비 유클리드 기하학의 유명한 응용입니다.
그 이후로 지오메트리의 범위가 크게 확장되었으며이 분야는 미분 기하학 , 대수 기하학 , 계산 기하학 , 대수 토폴로지 , 이산 기하학 ( 조합 기하학 이라고도 함)과 같은 기본 방법에 의존하는 많은 하위 필드로 분할되었습니다 . 등-또는 무시되는 유클리드 공간의 속성- 점의 정렬 만 고려하지만 거리와 평행 성은 고려하지 않는 투영 기하학 , 각도와 거리의 개념을 생략 한 아핀 기하학 , 연속성 을 생략 한 유한 기하학 등.
종종 물리적 세계를 모델링하기위한 목적으로 개발 된 지오메트리는 거의 모든 과학 , 예술 , 건축 및 그래픽 과 관련된 기타 활동에 적용됩니다 . [3] 형상은 명백하게 관련이 수학 분야에 응용이있다. 예를 들어, 대수 기하학의 방법은 Wiles의 Fermat 's Last Theorem 증명 을 위한 기본입니다 .이 문제는 기초 산술 로 언급되었으며 수세기 동안 해결되지 않은 상태로 남아 있습니다.
역사
가장 초기에 기록 된 기하학의 시작은 기원전 2 천년의 고대 메소포타미아 와 이집트 로 거슬러 올라갑니다 . [4] [5] 초기 기하학은 길이, 각도, 면적 및 부피와 관련하여 경험적으로 발견 된 원칙의 모음으로, 측량 , 건설 , 천문학 및 다양한 공예 에서 실제적인 필요를 충족시키기 위해 개발되었습니다 . 기하학에 관한 가장 초기에 알려진 텍스트는 이집트 린드 파피루스 (BC 2000-1800)와 모스크바 파피루스 (기원전 1890 년경), Plimpton 322 와 같은 바빌로니아 점토판입니다.(기원전 1900 년). 예를 들어, Moscow Papyrus는 잘린 피라미드 또는 절두체 의 부피를 계산하는 공식을 제공합니다 . [6] 후기 점토판 (기원전 350-50 년)은 바빌로니아 천문학 자들이 시간 속도 공간 내에서 목성의 위치와 움직임 을 계산하기 위해 사다리꼴 절차를 구현했음을 보여줍니다 . 이러한 기하학적 절차 는 평균 속도 정리를 포함 하여 Oxford Calculators 를 14 세기까지 예상했습니다 . [7] 이집트의 남부는 고대 누비아 인은 태양 시계의 초기 버전을 포함하여 지오메트리의 시스템을 설치했다. [8] [9]
기원전 7 세기에 그리스 수학자 인 Miletus의 Thales 는 피라미드의 높이와 해안에서 배까지의 거리를 계산하는 것과 같은 문제를 해결하기 위해 기하학을 사용했습니다. 그는 Thales의 정리에 대한 4 개의 추론을 도출함으로써 기하학에 적용된 연역적 추론을 처음으로 사용한 것으로 알려져 있습니다. [10] 피타고라스 는 피타고라스 정리 의 첫 번째 증거로 인정받는 피타고라스 학교를 설립했습니다 . [11] 정리의 진술은 오랜 역사를 가지고 있습니다. [12] [13] Eudoxus (기원전 408-c. 355) 는 고갈 의 방법을 개발했습니다. , 이것은 곡선 도형의 면적과 부피를 계산할 수있게했으며, [14] 비교할 수없는 크기 문제를 피한 비율 이론 을 통해 후속 기하학이 상당한 발전을 이룰 수있었습니다. 기원전 300 년경에 기하학은 유클리드에 의해 혁명 화되었습니다. Elements 는 가장 성공적이고 영향력있는 교과서로 널리 알려져 있으며 [15] 공리적 방법을 통해 수학적 엄격함 을 도입 했으며 오늘날에도 여전히 수학에서 사용되는 형식의 가장 초기의 예입니다. 정의, 공리, 정리 및 증명. 요소 의 대부분의 내용은이미 알려졌지만 Euclid는이를 하나의 일관된 논리적 프레임 워크로 배열했습니다. [16] 요소는 20 세기 중반까지 서구의 모든 교육을 사람들에게 알려져 그 내용은 오늘날 지오메트리를 배우게됩니다. [17] 아르키메데스 (c. 287-212 BC)의 쿠가 사용한 고갈 방법 계산 영역 (a)의 원호에 따라 포물선 와 무한 일련의 가산 , 그리고 상당히 정확한 근사치 준 파이 . [18] 그는 또한 자신의 이름을 가진 나선형을 연구 하고볼륨 의 회전 표면 .
인도의 수학자들도 기하학에 많은 중요한 공헌을했습니다. Satapatha 브라마나 (기원전 3 세기)는 유사하다 의식 기하학적 구조에 대한 규칙이 포함 Sulba 경전을 . [19] 에 따르면 ( 하야시 2005 , P. 363)는 Śulba 경전은 이미 고대 바빌로니아 알고 있었다하더라도 "세계에서 피타고라스 정리의 초기 현존하는 언어 적 표현. 그들은의 목록이 포함되어 포함 피타고라스의 트리플을 , [20] 의 특별한 경우이다 판틴 방정식 . [21] 에서 Bakhshali 원고, 몇 가지 기하학적 문제 (불규칙한 솔리드 볼륨에 대한 문제 포함)가 있습니다. Bakhshali 원고는 또한 "0에 점이있는 소수 자릿수 시스템을 사용합니다." [22] 아리 아바타 의 Aryabhatiya (499) 영역과 양의 계산을 포함한다. Brahmagupta 는 628 년에 그의 천문학 작품 Brāhma Sphuṭa Siddhānta 를 썼습니다 . 66 개의 산스크리트어 구절이 포함 된 12 장은 "기본 연산"(입방근, 분수, 비율 및 비율, 물물 교환 포함)과 "실용 수학"(포함)의 두 부분으로 나뉩니다. 혼합, 수학적 시리즈, 평면 그림, 벽돌 쌓기, 목재 톱질, 곡물 쌓기). [23]후자 섹션에서 그는 순환 사변형 의 대각선에 대한 그의 유명한 정리를 언급했습니다 . 12 장은 또한 순환 사변형 영역에 대한 공식 (헤론 공식의 일반화 )과 유리 삼각형 ( 즉 , 유리 변과 유리 영역이있는 삼각형)에 대한 완전한 설명을 포함했습니다 . [23]
에서 중세 시대 , 중세 이슬람 수학은 기하학의 발전, 특히에 기여 대수 기하학 . [24] [25] 알 마하니 (b. 853)와 같은 대수 문제의 큐브 중복 기하학적 문제를 감소시키는 아이디어를 생각. [26] Thābit ibn Qurra ( 라틴어 로 Thebit로 알려짐 ) (836–901) 는 기하학적 양의 비율 에 적용되는 산술 연산을 다루고 분석 기하학 의 발전에 기여했습니다 . [27] Omar Khayyám (1048–1131)은 3 차 방정식에 대한 기하학적 솔루션을 찾았습니다. . [28] Lambert 사변형 및 Saccheri 사변형을 포함한 사변형 에 대한 Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam 및 Nasir al-Din al-Tusi 의 정리는 쌍곡선 기하학의 초기 결과였으며 , 대체 가정과 함께 다음과 같습니다. 로 플레이 페어의 공리 ,이 작품을 포함한 이후 유럽 기하학, 중 비 유클리드 기하학의 발전에 상당한 영향했다 와이트로 의 (c. 1230-C를. 1314), 게르 소 이즈을 (1,288에서 1,344 사이), 알폰소 , 존 월리스 와 조반니 롤라를 Saccheri. [ 의심스러운 ] [29]
17 세기 초, 기하학에서 두 가지 중요한 발전이있었습니다. 첫 번째는 René Descartes (1596-1650)와 Pierre de Fermat (1601-1665)에 의해 분석 기하학 또는 좌표 와 방정식이있는 기하학의 생성이었습니다 . [30] 이것은 미적분학 의 발전 과 물리학 의 정밀한 정량 과학에 필요한 선구자였습니다 . [31] 이 기간의 제 형상 개발의 체계적인 연구했다 사영 기하학 의해 지라르 데 자르 그 (1591년부터 1661년까지는). [32] 그대로 아래 도형 사영 기하학 특성 연구되는특히 예술적 관점 과 관련된 투영 과 섹션 . [33]
19 세기 기하학의 두 가지 발전은 이전에 연구되었던 방식을 바 꾸었습니다. [34] 이러한 발견했다 비 유클리드 기하학 니콜라이 이바노 Lobachevsky 때, 보여이 야노시 칼 프리드리히 가우스 의해 제형의 대칭성 의 중앙 대가로서 랑겐 프로그램 의 펠릭스 클라인 유클리드 비 유클리드 기하학 일반화 ( ). 당시 마스터 지오 미터 중 두 가지는 Bernhard Riemann (1826–1866)으로 주로 수학적 분석 도구로 작업 하고 Riemann 표면을 도입했으며 , Henri Poincaré 의 창립자입니다.대수 토폴로지 와 동적 시스템 의 기하학적 이론 . 기하학 개념의 이러한 주요 변화의 결과로 "공간"의 개념은 풍부하고 다양해졌으며 복잡한 분석 및 고전 역학 만큼 다른 이론의 자연스러운 배경이되었습니다 . [35]
기하학의 중요한 개념
다음은 기하학에서 가장 중요한 개념 중 일부입니다. [2] [36] [37]
공리
유클리드가 자신의 형상을 추상적으로 착수했습니다 요소 , [38] 가장 영향력있는 책 중 하나가 쓰신. [39] Euclid 는 점, 선, 평면의 일차적이거나 자명 한 특성을 표현하는 특정 공리 또는 가정을 도입 했습니다. [40] 그는 수학적 추론에 의해 엄격를 추론 다른 속성으로 진행. 기하학에 대한 유클리드의 접근 방식의 특징은 그 엄격함이며, 공리적 또는 합성 기하학 으로 알려지게되었습니다 . [41] 19 세기의 시작에서, 발견 비 유클리드 기하 에 의해Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) 및 기타 [42] 는이 분야에 대한 관심을 다시 불러 일으켰으며 20 세기에는 David Hilbert (1862)가 –1943)은 기하학의 현대적 기초를 제공하기 위해 공리적 추론을 사용했습니다. [43]
포인트들
점은 유클리드 기하학에서 기본 객체로 간주됩니다. 그것들은 '부분이없는 것'으로 유클리드의 정의 [44] 와 대수 또는 중첩 된 집합의 사용을 포함하여 다양한 방식으로 정의되었습니다 . [45] 이러한 해석 기하학, 미분 기하학, 및 토폴로지 구조 등의 많은 분야에서, 모든 오브젝트는 점에서 구축 된 것으로 간주된다. 그러나 점을 참조하지 않고 기하학에 대한 연구가있었습니다. [46]
윤곽
Euclid 는 선을 "그 자체의 점에 대해 동일하게 놓여있는" "폭이없는 길이"라고 설명했습니다. [44] 현대 수학, 형상의 다수의 주어진 광고의 개념 밀접한 구조를 설명하는 방식으로 연결된다. 예를 들면, 해석 기하학 , 평면의 라인이 종종 좌표가 소정의 충족 포인트들의 집합으로 정의되는 선형 방정식 , [47] 과 같은, 그러나 추상적 설정에 입사 형상 , 라인은 독립 객체 일 수있다 , 그 위에 놓인 점 집합과는 다릅니다. [48] 미분 기하학은 측지선은 라인의 개념을 일반화이다곡선 공간 . [49]
비행기
평면 무한히 멀리 연장되는 평면의 2 차원면이다. [44] 평면 형상의 각 영역에 이용된다. 예를 들어, 평면은 거리 나 각도에 관계없이 위상 표면 으로 연구 될 수 있습니다 . [50] 이것으로는 연구 할 수 아핀 공간 공선과의 거리 비가 공부 아니지만 수; [51] 그것이으로 연구 할 수 복소 평면 의 기술을 사용하여 복잡한 분석 ; [52] 등등.
각도
Euclid 는 평면 각도 를 평면에서 서로 만나고 서로에 대해 똑바로 눕지 않는 두 선의 기울기로 정의합니다 . [44] 현대의 관점에서, 각 2 개로 형성된 도면이다 광선 착신, 양쪽 호출 공통 포인트를 공유하는, 각도, 정점 각도는. [53]
에서 유클리드 기하학 , 각도는 연구에 사용되는 다각형 및 삼각형 자신의 권리에 연구의 객체를 형성뿐만 아니라. [44] 삼각형의 또는 각도의 각도 연구 단위 원 에 기초하여 형성 삼각법 . [54]
에서는 미분 기하학 과 수학 사이의 각도 평면 곡선 또는 공간 곡선 또는 표면 은 USING 계산 될 수 유도체 . [55] [56]
곡선
곡선 여부 (라인 등)을 직선 일 수있는 1 차원 객체이고; 2 차원 공간의 곡선을 평면 곡선 이라고 하고 3 차원 공간의 곡선을 공간 곡선 이라고 합니다 . [57]
토폴로지에서 곡선은 실수의 간격에서 다른 공간으로의 함수에 의해 정의됩니다. [50] 미분 기하학에서 같은 정의가 사용되지만, 미분 함수 정의 할 필요가있다 [58] 대수 기하학 연구 대수 곡선 으로 정의되고, 대수 품종 의 치수 중 하나. [59]
표면
표면은 이러한 구형 또는 포물면으로 2 차원 객체이다. [60] 에서의 미분 기하학 [58] 및 토폴로지 , [50] 표면을 이차원 '패치'(또는 설명되는 지역 으로 조립) 미분 동 형사상 또는 homeomorphisms 각각. 대수 기하학에서 표면은 다항 방정식 으로 설명됩니다 . [59]
매니 폴드
매니 곡선 표면의 개념을 일반화. 에서는 토폴로지 , 매니 폴드는 인 위상 공간 의 모든 포인트가 보유 이웃 이다 homeomorphic 유클리드 공간이. [50] 에서 미분 기하학 하는 미분 매니 폴드는 각각의 이웃하는 공간 diffeomorphic 유클리드 공간이. [58]
매니 폴드는 일반 상대성 이론 과 끈 이론을 포함하여 물리학에서 광범위하게 사용됩니다 . [61]
길이, 면적 및 부피
길이 , 면적 및 체적 은 각각 1 차원, 2 차원 및 3 차원에서 객체의 크기 또는 범위를 설명합니다. [62]
에서는 유클리드 기하학 과 해석 기하학 , 선분의 길이는 종종 의해 계산 될 수있다 피타고라스 정리 . [63]
면적과 체적은 길이와 분리 된 기본 수량으로 정의하거나 평면 또는 3 차원 공간의 길이로 설명하고 계산할 수 있습니다. [62] 수학자 많은 명백한 발견 영역 수식 과 볼륨 수식 다양한 기하학적 개체. 에서는 수학 면적과 체적의 관점에서 정의 될 수 적분 예로서 리만 적분 [64] 또는 베그 적분 . [65]
메트릭 및 측정
길이 또는 거리의 개념을 일반화하여 메트릭 개념으로 이어질 수 있습니다 . [66] 예를 들어, 유클리드 메트릭 측정의 점 사이의 거리 의 유클리드 평면 은 잠시 쌍곡선 메트릭 측정의 거리 쌍곡면 . 측정의 다른 중요한 예는 포함 로렌츠 메트릭 의 특수 상대성 과 반 리만 메트릭 의 일반 상대성을 . [67]
다른 방향으로 길이, 면적 및 부피의 개념은 측정 이론에 의해 확장됩니다. 측정 이론 은 크기 또는 측정 값 을 집합 에 할당하는 방법을 연구 합니다 . 여기서 측정 값 은 고전적 영역 및 부피와 유사한 규칙을 따릅니다. [68]
일치와 유사성
합동 과 유사성 은 두 모양이 비슷한 특성을 가질 때를 설명하는 개념입니다. [69] 에서, 유클리드 기하학은 유사성 적합성은 크기와 형태 모두에서 동일한 물체를 기술하기 위해 사용되지만, 동일한 형상을 갖는 물체를 기술하기 위해 사용된다. [70] 힐버트 속성에 의해 정의 된 정의되지 않은 용어로 Geometry 더 엄격한 재단 처리 합동 만드는 그의 작품 공리 .
일치와 유사성은 다른 종류의 변형에 의해 보존되는 기하학적 객체의 속성을 연구하는 변형 기하학 에서 일반화됩니다 . [71]
나침반 및 직선형 구조
고전 기하학은 다른 방식으로 설명 된 기하학 물체를 만드는 데 특별한주의를 기울였습니다. 고전적으로 기하학적 구조에서 허용되는 유일한 도구는 나침반 과 직선 자 입니다. 또한 모든 시공은 한정된 수의 단계로 완료되어야했습니다. 그러나 일부 문제는 이러한 수단만으로는 해결하기 어렵거나 불가능한 것으로 밝혀졌으며 기계 장치뿐만 아니라 포물선 및 기타 곡선을 사용한 독창적 인 구조가 발견되었습니다.
치수
전통적인 기하학이 차원 1 ( 선 ), 2 ( 평면 ) 및 3 ( 3 차원 공간 으로 간주되는 우리 주변 세계 )을 허용하는 경우, 수학자와 물리학 자들은 거의 2 세기 동안 더 높은 차원 을 사용했습니다. [72] 높은 차원에 대한 수학 사용의 한 예는 IS 구성 공간 시스템의 동일한 사이즈 갖는 물리적 시스템의 자유도 . 예를 들어 나사의 구성은 5 개의 좌표로 설명 할 수 있습니다. [73]
에서는 일반적인 토폴로지 차원의 개념은 확장 된 자연수 무한 치수 ( 힐베르트 공간 예를 들어,)과 플러스 실수 (의 프랙탈 구조 ). [74] 에서 대수 기하학 은 대수적 다양한 치수는 모든 일반적인 경우 동일 명백하게 상이한 정의의 번호를 받았다. [75]
대칭
기하학 의 대칭 이라는 주제는 기하학 자체의 과학만큼이나 오래되었습니다. [76] 대칭 도형 등으로 원 , 정다각형 과 정다면체는 많은 고대 철학자에 대한 깊은 의미를 개최 [77] 와 유클리드의 시간 전에 자세히 조사 하였다. [40] 대칭 패턴 자연 발생 및 예술의 그래픽을 포함한 형태의 다수의 렌더링 된 레오나르도 다빈치 , MC 에셔 등. [78] 19 세기 후반에 대칭 형상의 관계가 강한 조사 받게되었다.Felix Klein 의 Erlangen 프로그램 은 매우 정확한 의미에서 변형 그룹 의 개념을 통해 표현 된 대칭이 기하학 이 무엇인지를 결정 한다고 선언했습니다 . [79] 고전에서 대칭 유클리드 기하 에 의해 표현된다 congruences 에 반해, 경질 운동 사영 기하학 유사한 역할을하여 재생 collineations , 기하학적 변환을 직선으로 직선을. [80] 그 Bolyai 있음과 Lobachevsky 때, 리만, 새로운 형상이었다 그러나 클 및 클라인 및 푸스 사기' 대칭 그룹을 통해 기하학을 정의'하려는 Klein의 아이디어가 영감을 얻었습니다. [81] 분리 된 연속 대칭 형상 모두에서 현저한 역할의 이전 재생 토폴로지 및 형상 군론 , [82] [83] 후자 라이 이론 및 리만 기하학 . [84] [85]
대칭의 다른 유형의 원칙이다 이중성 에서 사영 기하학 다른 분야들. 이 메타 현상은 대략 다음과 같이 설명 할 수 있습니다. 모든 정리 에서 평면 과의 교환 점 , meet 와의 결합 , contains 와의 거짓말 , 결과는 똑같이 진정한 정리입니다. [86] 이중성 유사한 형태와 밀접한 관련이 사이에 존재하는 벡터 공간 및 이중 공간 . [87]
현대 기하학
유클리드 기하학
유클리드 기하학 은 고전적인 의미의 기하학입니다. [88] 물리적 세계의 공간을 모델링하기 때문에 기계 , 천문학 , 결정학 , [89] 과 같은 많은 과학 분야 와 공학 , [90] 건축 , [91] 측지학 과 같은 많은 기술 분야에서 사용됩니다. , [92] 공기 역학 , [93] 및 항법 . [94] 국가의 대부분의 필수 교육 과정은 다음과 같은 유클리드 개념의 연구를 포함 점 , 선, 평면 , 각도 , 삼각형 , 합동 , 유사성 , 입체 도형 , 원 및 분석 기하학 . [36]
미분 기하학
미분 기하학 은 기하학 문제를 연구하기 위해 미적분 및 선형 대수 기술을 사용 합니다. [95] 물리학 , [96] 계량 경제학 , [97] 및 생물 정보학 , [98] 등의 응용 분야 가 있습니다.
특히 미분 기하학은 우주 가 곡선 이라는 Albert Einstein 의 일반 상대성 이론 으로 인해 수학적 물리학 에서 중요합니다 . [99] 미분 기하학은 일 수 진성 (그것은 고려 공백이라는 것을 의미 부드러운 폴드 그의 기하학적 구조 a로 지배된다 리만 메트릭 또는 거리는 각 지점 근처 측정 방법을 결정하는) 외부 연구중인 물체는 부분이다가 ( 앰비언트 플랫 유클리드 공간의 일부). [100]
비 유클리드 기하학
유클리드 기하학은 연구 된 유일한 역사적 형태의 기하학이 아니 었습니다. 구형 기하학 은 오랫동안 천문학 자, 점성가 및 항해사에 의해 사용되었습니다. [101]
임마누엘 칸트 (Immanuel Kant) 는 내면의 마음의 능력에 의해 선험적 으로 진실이라고 알려진 절대 기하학 은 단 하나 뿐이라고 주장했다 . 유클리드 기하학은 선험적 합성 이었다 . [102] 이보기는 처음 다소 같은 사상가에 의해 도전이었다 Saccheri 그리고 마지막의 혁명적 인 발견에 의해 전복, 비 유클리드 기하학 Bolyai 있음, Lobachevsky 때의 작품, 그리고 가우스 (자신의 이론을 발표 적이있는 사람). [103] 그들은 그 일반 시연 유클리드 공간 기하학의 발전을위한 하나의 가능성이다. Riemann 은 기하학 주제에 대한 광범위한 비전을 표현했습니다.그의 1867 년 취임 강연에서 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ( 기하학적 기반이되는 가설에 대하여 ), [104] 그의 죽음 이후에만 출판되었습니다. Riemann의 새로운 공간 아이디어는 Albert Einstein 의 일반 상대성 이론 에서 결정적인 것으로 입증되었습니다 . 길이의 개념이 정의되는 매우 일반적인 공간을 고려하는 리만 기하학 은 현대 기하학의 주요 요소입니다. [81]
토폴로지
토폴로지 는 연속 매핑 의 속성과 관련된 분야 이며 [105] 유클리드 기하학의 일반화로 간주 될 수 있습니다. [106] 실제로, 토폴로지들은 같은 공간 대규모 특성 다루는 수단 연결성 및 소형화 . [50]
20 세기에 대대적으로 발전한 토폴로지 분야는 기술적 의미 에서 변형이 동종인 변형 기하학 의 한 유형입니다 . [107] 이 종종 말하는 형태 '토폴로지 고무 시트 형상 인'으로 표현하고있다. 토폴로지의 하위 필드에는 기하학적 토폴로지 , 차동 토폴로지 , 대수 토폴로지 및 일반 토폴로지가 포함 됩니다. [108]
대수 기하학
의 필드 대수 기하학 으로부터 개발 데카르트 기하학 의 좌표 . [109] 이 생성 및 연구를 수반 성장주기 기간 시행 사영 기하학 , birational 기하학 , 대수 품종 및 가환 대수학 다른 항목들 사이를. [110] 이 주된 원인의 작업을 거쳐 주요 기초 개발했다 1970 년대 중반을 통해 1950 년대 후반에서 장 피에르 세르 와 알렉산더 그로 텐 디크을 . [110] 이 도입되었다 제도그리고 다양한 동질 이론을 포함한 토폴로지 방법 에 대한 더 큰 강조 . 일곱 중 하나 밀레니엄 문제 는 호지 추측은 , 대수 기하학의 문제이다. [111] 페르마의 마지막 정리의 와일즈 '증거 의 오랜 문제를 해결하기위한 대수 기하학의 고급 방법을 사용하여 번호를 이론을 .
일반적으로 대수 기하학 은 다변량 다항식 과 같은 교환 대수 의 개념을 사용하여 기하학을 연구합니다 . [112] 이 포함하는 많은 분야에 응용 가지고 암호화 [113] 및 문자열 이론 . [114]
복잡한 기하학
복잡한 지오메트리 는 복잡한 평면 에서 모델링되거나 그에서 발생하는 기하학적 구조의 특성을 연구합니다 . [115] [116] [117] 복잡한 형상 미분 기하학, 대수 기하학 및 분석의 교차점에 놓여 여러 복잡한 변수 및 애플리케이션을 발견 하였다 끈 이론 과 거울 대칭 . [118]
복잡한 기하학 은 Riemann 표면 연구에서 Bernhard Riemann 의 연구에서 뚜렷한 연구 영역으로 처음 나타났습니다 . [119] [120] [121] 리만의 정신 작업에 의해 수행되었다 대수 기하학의 이탈리아어 학교 1900 년대 초이다. 복잡한 기하학에 대한 현대적인 처리는 주제 에 단 의 개념을 도입하고 복잡한 기하학과 대수 기하학 사이의 관계를 밝힌 Jean-Pierre Serre 의 작업으로 시작되었습니다 . [122] [123] 복잡한 형상에 연구의 주된 목적은 복소 다양체 , 복잡한 수학적 품종, 복잡한 분석 품종 , 홀로 모픽 벡터 번들 및 이러한 공간에 대한 일관된 시브 . 복잡한 기하학에서 연구되는 공간의 특별한 예에는 Riemann 표면 및 Calabi-Yau 매니 폴드 가 포함되며 이러한 공간은 끈 이론에서 사용됩니다. 특히, 스트링의 월드 시트 는 Riemann 표면에 의해 모델링되며, 수퍼 스트링 이론 은 10 차원 시공간 의 추가 6 차원이 Calabi-Yau 매니 폴드에 의해 모델링 될 수 있다고 예측합니다 .
이산 기하학
Discrete geometry 는 볼록한 기하학 과 밀접한 관련이있는 주제입니다 . [124] [125] [126] 이 그러한 점, 선, 원 간단한 기하학적 물체의 상대적인 위치의 질문에 주로 관련된다. 예는 구체 패킹 , 삼각 분할 , Kneser-Poulsen 추측 등에 대한 연구를 포함합니다 . [127] [128] 조합론 과 많은 방법과 원리를 공유 합니다.
계산 기하학
계산 기하학 은 기하학 객체를 조작 하기 위한 알고리즘 및 구현 을 다룹니다 . 역사적으로 중요한 문제는 이동하는 세일즈맨 문제 , 최소 스패닝 트리 , 은선 제거 및 선형 프로그래밍을 포함 합니다. [129]
기하학의 젊은 영역이지만 컴퓨터 비전 , 이미지 처리 , 컴퓨터 지원 설계 , 의료 이미징 등에 많은 응용 프로그램이 있습니다 . [130]
기 하군 이론
기하학적 그룹 이론 은 유한하게 생성 된 그룹 을 연구하기 위해 대규모 기하학적 기술을 사용합니다 . [131] 이 밀접하게 연결되어 저 차원 토폴로지 예에서와 같이, 그리고 리 페렐만 의의 증거 기하 화 추측 의 증거 포함 푸앵카레 추측 하는 밀레니엄 문제 . [132]
기하학적 그룹 이론은 종종 그룹 의 기하학적 표현 인 Cayley 그래프를 중심으로 진행됩니다 . 다른 중요한 주제로는 준 동등성 , Gromov- 쌍곡선 그룹 , 직각 Artin 그룹이 있습니다. [131] [133]
볼록한 기하학
볼록 구조 를 조사한다 볼록 모양 자주의 기술을 사용하여 유클리드 공간과 추상적 유사에서 실시간 분석 및 이산 수학 . [134] 이 가까이 연결 갖는 볼록 분석 , 최적화 및 기능 분석 및 적용에 중요한 숫자 이론 .
볼록한 기하학은 고대로 거슬러 올라갑니다. [134] 아르키메데스 볼록 제 알려진 정확한 정의를 주었다. 등주 문제 , 볼록 형상의 반복 개념을 포함,뿐만 아니라 그리스인에 의해 연구되었다 제노도 러스 . 아르키메데스, 플라톤 , 유클리드 , 이후 케플러 와 콕 세터는 모두 볼록 폴리 토프 와 그 특성을 연구했습니다 . 19 세기부터 수학자들은 더 높은 차원의 폴리 토프, 볼록 체의 부피 및 표면적, 가우스 곡률 , 알고리즘 , 타일링 등 볼록 수학의 다른 영역을 연구했습니다.및 격자 .
응용
Geometry는 많은 분야에서 응용 프로그램을 찾았으며 그중 일부는 아래에 설명되어 있습니다.
미술
수학과 예술은 다양한 방식으로 관련되어 있습니다. 예를 들어, 원근 이론은 도형의 미터법 속성보다 기하학에 더 많은 것이 있음을 보여주었습니다. 원근은 투영 기하학 의 기원입니다 . [135]
예술가들은 오랫동안 디자인에서 비례 개념을 사용해 왔습니다 . Vitruvius 는 인간의 모습에 대한 이상적인 비율에 대한 복잡한 이론을 개발했습니다 . [136] 이러한 개념은 사용에서 예술가들에 의해 채택 된 미켈란젤로 현대 만화 예술가. [137]
황금 비율은 당해 기술 분야에서 논란 역할을했다 특정 비율이다. 종종 가장 미학적으로 유쾌한 길이 비율이라고 주장하지만, 가장 신뢰할 수 있고 모호하지 않은 예는이 전설을 알고있는 예술가들이 의도적으로 만든 것이지만 유명한 예술 작품에 통합되는 것으로 자주 언급됩니다. [138]
타일링 또는 테셀레이션은 역사 전반에 걸쳐 예술에서 사용되었습니다. 이슬람 예술 은 MC Escher 의 예술처럼 테셀레이션을 자주 사용 합니다. [139] 에셔의 작품도 사용했다 쌍곡 기하학을 .
Cézanne 은 모든 이미지가 구 , 원뿔 및 원통 에서 구성 될 수 있다는 이론을 발전 시켰습니다 . 모양의 정확한 목록은 저자마다 다르지만 이것은 오늘날 미술 이론에서 여전히 사용됩니다. [140] [141]
건축물
기하학은 건축에서 많은 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 사실 기하학은 건축 디자인의 핵심이라고합니다. [142] [143] 아키텍처 형상의 애플리케이션의 사용을 포함하는 투영 형상을 만들기 위해 강제 관점에서 , [144] 의 사용 원추형 섹션 돔과 유사한 개체를 구성하는데, [91] 의 사용 테셀레이션 , [91] 및 대칭 사용. [91]
물리학
천문학 분야는 특히 천구 에서 별 과 행성 의 위치를 매핑하고 천체의 움직임 사이의 관계를 설명하는 것과 관련하여 역사 전반에 걸쳐 기하학적 문제의 중요한 원인이되었습니다. [145]
Riemannian 기하학 과 pseudo-Riemannian 기하학은 일반 상대성 이론 에서 사용됩니다 . [146] 문자열 이론 차종은 기하학의 여러 변종의 사용 [147] 으로 수행 양자 정보 이론 . [148]
다른 수학 분야
미적분 은 기하학의 영향을 많이 받았습니다. [30] 예를 들면, 도입 좌표 함으로써 데카르트 과의 병행 발전 대수 같은 기하학적 인물 보낸 지오메트리 새로운 단계를 표시, 평면 곡선은 지금 표시 될 수있는 해석 적 함수 방정식의 형태. 이것은 17 세기 에 극소 미적분학 의 출현에 중요한 역할을했습니다 . 분석 기하학은 계속해서 미적분 및 미적분 커리큘럼의 중심이되고 있습니다. [149] [150]
또 다른 중요한 응용 분야는 수 이론 입니다. [151] 에서 고대 그리스 피타고라스 학파는 기하학 숫자의 역할을 고려했다. 그러나 비교할 수없는 길이의 발견은 그들의 철학적 견해와 모순되었습니다. [152] 19 세기 이후, 구조는을 통해 예를 들어, 숫자 이론 문제를 해결하기 위해 사용 된 숫자의 형상 이나, 최근에, 체계 이론 에서 사용되는, 페르마의 마지막 정리의 와일즈의 증명 . [153]
또한보십시오
기울기
- 기하학 목록
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관련 주제
- 도형 기하학
- 유한 기하학
- Flatland , Edwin Abbott Abbott 가쓴2 차원 및 3 차원 공간 에 대한책, 4 차원의 개념을 이해하기 위해
- 대화 형 기하학 소프트웨어 목록
기타 분야
- 분자 기하학
메모
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- 수학 포럼 – 고급 기하학
- 자연 선행 – 스톤 헨지의 나무못과 로프 기하학
- 수학적 아틀라스 – 수학의 기하학적 영역
- "4000 Years of Geometry" , 2007 년 10 월 3 일 Gresham College 에서 강연 한 Robin Wilson의 강의 (MP3 및 MP4 다운로드 및 텍스트 파일로 제공)
- Stanford Encyclopedia of Philosophy의 기하학 에서의 Finitism
- 기하학 쓰레기장
- 수백 개의 애플릿이있는 대화 형 기하학 참조
- 동적 형상 스케치 (일부 학생 탐구 포함)
- 기하학 클래스 에서 칸 아카데미
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