선형 근사

에서는 수학 하는 선형 근사는 일반의 근사 함수를 사용하여 A 선형 함수 (정확하게 아핀 기능 ). 방정식에 대한 해를 풀거나 근사화하기위한 1 차 방법을 생성하기 위해 유한 차분 방법에 널리 사용됩니다 .

( a , f ( a ))의 접선

정의

두 번 연속으로 미분 할 수있는 기능이 주어짐 ${\ displaystyle f}$ 하나의 실제 변수 의 경우에 대한 Taylor의 정리 ${\ displaystyle n = 1}$ 말한다

{\ displaystyle f (x) = f (a) + f '(a) (xa) + R_ {2} \}

어디 ${\ displaystyle R_ {2}}$ 나머지 기간입니다. 선형 근사는 나머지를 삭제하여 얻을 수 있습니다.

{\ displaystyle f (x) \ 약 f (a) + f '(a) (xa)}

.

이것은 좋은 근사치입니다. ${\ displaystyle x}$ 충분히 가깝다 ${\ displaystyle a}$ ; 면밀히 관찰하면 곡선이 직선과 비슷해지기 시작하기 때문입니다. 따라서 오른쪽의 표현 은 그래프의 접선에 대한 방정식 일뿐 입니다. ${\ displaystyle f}$ ...에서 ${\ displaystyle (a, f (a))}$ . 이러한 이유로이 과정을 접선 근사 라고도합니다 .

만약 ${\ displaystyle f}$ 인 오목 다운 간의 간격은 ${\ displaystyle x}$ 과 ${\ displaystyle a}$ , 근사치는 과대 추정이됩니다 (미분이 해당 구간에서 감소하기 때문에). 만약 ${\ displaystyle f}$ 되고 위로 오목 , 근사치는 과소 평가 될 것이다. ^[1]

벡터 변수의 벡터 함수에 대한 선형 근사값 은 같은 방식으로 얻어지며, 점에서의 도함수는 야 코비 행렬 로 대체됩니다 . 예를 들어, 미분 기능이 주어지면 ${\ displaystyle f (x, y)}$ 실제 값을 사용하면 대략 ${\ displaystyle f (x, y)}$ ...에 대한 ${\ displaystyle (x, y)}$ 가까운 ${\ displaystyle (a, b)}$ 공식으로

{\ displaystyle f \ left (x, y \ right) \ approx f \ left (a, b \ right) + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ left (a, b \ right) \ left (xa \ right) + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ left (a, b \ right) \ left (yb \ right).}

오른쪽은 그래프에 접하는 평면의 방정식입니다. ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ...에서 ${\ displaystyle (a, b).}$

Banach 공간 의보다 일반적인 경우 에는

{\ displaystyle f (x) \ 약 f (a) + Df (a) (xa)}

어디 ${\ displaystyle Df (a)}$ 는 IS 프레 셰 도함수 의 ${\ displaystyle f}$ ...에서 ${\ displaystyle a}$ .

응용

광학

가우스 광학 은 시스템 의 광축 과 작은 각도를 이루는 광선 만 고려 하는 근축 근사 를 사용하여 광학 시스템에서 광선의 거동을 설명하는 기하학적 광학 기술입니다 . ^[2] 이 근사, 삼각 함수는 각도의 선형 함수로 표현 될 수있다. 가우스 광학은 모든 광학 표면이 평평하거나 구체 의 일부인 시스템에 적용됩니다 . 이 경우 구성 요소의 기하학적 모양 및 재료 속성 측면에서 초점 거리, 배율 및 밝기와 같은 이미징 시스템의 매개 변수에 대해 간단한 명시 적 공식을 제공 할 수 있습니다.

진동 기간

단순 중력 진자 의 스윙주기는 길이 , 중력 의 국부적 강도 , 그리고 진자가 수직에서 멀어지는 최대 각도 θ ₀ 에 따라 조금씩 달라지며 진폭 이라고합니다 . ^[3] 밥 의 질량 과 무관 합니다. 단순한 진자 의 실제주기 T , 이상적인 단순 중력 진자의 완전한주기에 걸리는 시간은 여러 가지 다른 형태로 쓸 수 있습니다 ( 진자 참조 ). 한 가지 예는 무한 급수입니다 . ^[4]^[5]

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {L \ over g}} \ left (1 + {\ frac {1} {16}} \ theta _ {0} ^ {2} + {\ frac {11} {3072}} \ theta _ {0} ^ {4} + \ cdots \ right)}

여기서 L 은 진자의 길이이고 g 는 중력 의 국부 가속도입니다 .

그러나 선형 근사를 취하면 (즉, 진폭이 작은 스윙으로 제한되는 경우 ^{[주 1]} ) 주기 는 다음과 같습니다. ^[6]

{\ displaystyle T \ approx 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ theta _ {0} \ ll 1 \ qquad (1) \,}

선형 근사에서 스윙주기는 크기가 다른 스윙에 대해 거의 동일합니다. 즉, 주기는 진폭과 무관 합니다. isochronism 이라고하는이 속성 은 진자가 시간 측정에 매우 유용한 이유입니다. ^[7] 진자의 연속적인 스윙은 진폭이 변하더라도 동일한 시간이 걸립니다.

전기 저항

대부분의 재료의 전기 저항은 온도에 따라 변합니다. 온도 T 가 너무 많이 변하지 않으면 일반적으로 선형 근사가 사용됩니다.

{\ displaystyle \ rho (T) = \ rho _ {0} [1+ \ alpha (T-T_ {0})]}

어디 ${\ displaystyle \ alpha}$ 저항률 의 온도 계수 라고합니다 . ${\ displaystyle T_ {0}}$ 고정 기준 온도 (일반적으로 실내 온도) ${\ displaystyle \ rho _ {0}}$ 온도에서의 저항률 ${\ displaystyle T_ {0}}$ . 매개 변수 ${\ displaystyle \ alpha}$ 측정 데이터에서 피팅 된 경험적 매개 변수입니다. 선형 근사는 근사 일 뿐이므로 ${\ displaystyle \ alpha}$ 기준 온도에 따라 다릅니다. 이러한 이유로 온도를 지정하는 것이 일반적입니다. ${\ displaystyle \ alpha}$ 다음과 같은 접미사로 측정되었습니다. ${\ displaystyle \ alpha _ {15}}$ , 관계는 기준 주변 온도 범위에서만 유지됩니다. ^[8] 온도가 넓은 온도 범위에 걸쳐 변할 경우 선형 근사치가 부적절하므로보다 자세한 분석과 이해가 필요합니다.

또한보십시오

이항 근사
오일러의 방법
유한 차이
유한 차분 방법
뉴턴의 방법
파워 시리즈
테일러 시리즈

메모

^ "작은"스윙은 θ가 라디안으로 측정 될 때 sin (θ)이 θ에 의해 근사 될 수있을만큼 각도 θ가 충분히 작은 스윙입니다.

참고 문헌

^ "12.1 선형 근사를 사용한 함수 값 추정" . 2012 년 6 월 3 일에 확인 함 .
^ Lipson, A .; Lipson, SG; Lipson, H. (2010). 광학 물리학 (4 판). 영국 케임브리지 : Cambridge University Press. 피. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.
^ Milham, Willis I. (1945). 시간과 계시원 . MacMillan. 188–194 쪽. OCLC 1744137 .
^ 넬슨, 로버트; MG Olsson (1987 년 2 월). "진자 – 간단한 시스템의 풍부한 물리학" (PDF) . 미국 물리학 저널 . 54 (2) : 112–121. Bibcode : 1986AmJPh..54..112N . DOI : / 1.14703 10.1119을 . 2008 년 10 월 29 일에 확인 함 .
^ "시계" . Encyclopædia Britannica, 11th Ed . 6 . The Encyclopædia Britannica Publishing Co. 1910. p. 538 . 만회하는 2009-03-04을 . 파생물 포함
^ Halliday, David; 로버트 레스 닉; Jearl Walker (1997). 물리학 기초, 5th Ed . 뉴욕 : John Wiley & Sons. 피. 381 . ISBN 0-471-14854-7.
^ Cooper, Herbert J. (2007). 과학 기기 . 뉴욕 : 허친슨. 피. 162. ISBN 1-4067-6879-0.
^ Ward, MR (1971). 전기 공학 과학 . McGraw-Hill. 36–40 쪽. ISBN 0-07-094255-2.

추가 읽기

Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). 미적분 III . 베를린 : Springer-Verlag. 피. 775. ISBN 0-387-90985-0.
Strang, Gilbert (1991). 미적분 . Wellesley College. 피. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). AP 미적분을 준비하는 방법 . 뉴욕 주 Hauppauge : Barrons Educational Series. 피. 118 . ISBN 0-7641-2382-3.

[6] "작은"스윙은 θ가 라디안으로 측정 될 때 sin (θ)이 θ에 의해 근사 될 수있을만큼 각도 θ가 충분히 작은 스윙입니다.

[1] "12.1 선형 근사를 사용한 함수 값 추정" . 2012 년 6 월 3 일에 확인 함 .

[2] Lipson, A .; Lipson, SG; Lipson, H. (2010). 광학 물리학 (4 판). 영국 케임브리지 : Cambridge University Press. 피. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.

[Milham1945-3] Milham, Willis I. (1945). 시간과 계시원 . MacMillan. 188–194 쪽. OCLC 1744137 .

[Nelson-4] 넬슨, 로버트; MG Olsson (1987 년 2 월). "진자 – 간단한 시스템의 풍부한 물리학" (PDF) . 미국 물리학 저널 . 54 (2) : 112–121. Bibcode : 1986AmJPh..54..112N . DOI : / 1.14703 10.1119을 . 2008 년 10 월 29 일에 확인 함 .

[5] "시계" . Encyclopædia Britannica, 11th Ed . 6 . The Encyclopædia Britannica Publishing Co. 1910. p. 538 . 만회하는 2009-03-04을 . 파생물 포함

[7] Halliday, David; 로버트 레스 닉; Jearl Walker (1997). 물리학 기초, 5th Ed . 뉴욕 : John Wiley & Sons. 피. 381 . ISBN 0-471-14854-7.

[8] Cooper, Herbert J. (2007). 과학 기기 . 뉴욕 : 허친슨. 피. 162. ISBN 1-4067-6879-0.

[9] Ward, MR (1971). 전기 공학 과학 . McGraw-Hill. 36–40 쪽. ISBN 0-07-094255-2.

[1]