비표준 분석

정렬 된 필드 의 0이 아닌 요소 ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$절대 값 이 다음 요소보다 작은 경우에만 무한소 입니다.${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ 형태의 ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$, for ${\ displaystyle n}$표준 자연수. 무한소 요소가있는 정렬 된 필드를 비 Archimedean 이라고도 합니다. 보다 일반적으로, 비표준 분석은 비표준 모델 과 전달 원리 에 의존하는 모든 형태의 수학입니다 . 실수에 대한 전달 원리를 만족하는 필드는 하이퍼 리얼 필드 이며, 비표준 실제 분석은 이러한 필드를 실수의 비표준 모델 로 사용 합니다.

Robinson의 원래 접근 방식은 실수 분야의 이러한 비표준 모델을 기반으로했습니다. 비표준 분석 이라는 주제에 대한 그의 고전적인 기초 저서 는 1966 년에 출판되었으며 여전히 인쇄 중입니다. ^[8] 88 페이지에서 Robinson은 다음과 같이 씁니다.

비표준 산술 모델의 존재는 Thoralf Skolem (1934)에 의해 발견되었습니다 . Skolem의 방법은 초 전력 구조를 예고한다 ...]

극소수의 미적분을 개발하려면 몇 가지 기술적 문제를 해결해야합니다. 예를 들어, 무한 소수로 정렬 된 필드를 구성하는 것으로는 충분하지 않습니다. 관련 아이디어에 대한 논의는 초 실수 에 대한 기사를 참조하십시오 .

이 섹션에서는 하이퍼 리얼 필드를 정의하는 가장 간단한 방법 중 하나를 간략하게 설명합니다. ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$. 허락하다${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ 실수의 필드이고 ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$자연수 의 반원형 입니다. 표시${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$일련의 실수의 집합. 필드${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$ 적절한 몫으로 정의됩니다. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$, 다음과 같습니다. 비 주요 한외 여과기 사용 ${\ displaystyle F \ subseteq P (\ mathbb {N})}$. 특히,${\ displaystyle F}$Fréchet 필터를 포함합니다 . 한 쌍의 시퀀스를 고려하십시오.

${\ displaystyle u = (u_ {n}), v = (v_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

우리는 말한다 ${\ displaystyle u}$ 과 ${\ displaystyle v}$ 한외 필터의 구성원 인 인덱스 집합 또는 공식에서 일치하는 경우 동일합니다.

${\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} : u_ {n} = v_ {n} \} \ in F}$

몫 ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ 결과 등가 관계에 의해 하이퍼 리얼 필드가 ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$, 공식으로 요약 된 상황 ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R} = {\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} / {F}}$.

비표준 분석을 고려해야하는 이유는 역사, 교육 및 기술의 세 가지 이상입니다.

역사적인

Newton 과 Leibniz에 의한 무한 미적분의 초기 개발의 대부분은 무한 소수 및 소실량 과 같은 표현을 사용하여 공식화되었습니다 . 초 실수 에 대한 기사에서 언급했듯이 이러한 공식은 George Berkeley 와 다른 사람들에 의해 널리 비판되었습니다 . 무한 소수를 사용하여 일관된 분석 이론을 개발하는 것은 도전이었고이를 만족스러운 방식으로 수행 한 첫 번째 사람은 Abraham Robinson이었습니다. ^[6]

1958 년 Curt Schmieden과 Detlef Laugwitz 는 "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ^[9] ( "An Extension of Infinitesimal Calculus")라는 기사를 발표하여 무한소를 포함하는 링의 구성을 제안했습니다. 반지는 일련의 실수로 구성되었습니다. 한정된 수의 요소에서만 다른 두 시퀀스는 동등한 것으로 간주되었습니다. 산술 연산은 요소별로 정의되었습니다. 그러나 이러한 방식으로 구성된 링은 제수 0을 포함하므로 필드가 될 수 없습니다.

교육학

H. Jerome Keisler , David Tall 및 기타 교육자들은 무한 소수 의 사용이 분석 개념에 대한 "엡실론-델타"접근 방식 보다 학생들이 더 직관적이고 쉽게 파악할 수 있다고 주장합니다 . ^[10] 이 방법은 때때로 입증 대응 엡실론 - 델타 제제보다 쉽게 교정 결과를 제공 할 수있다. 대부분의 단순화는 다음과 같이 비표준 산술의 매우 쉬운 규칙을 적용하는 데서 비롯됩니다.

무한소 × 유한 = 무한소

무한소 + 무한소 = 무한소

아래에 언급 된 전송 원칙과 함께.

비표준 분석의 또 다른 교육 학적 적용 은 확률 적 과정 이론에 대한 Edward Nelson 의 처리입니다 . ^[11]

전문인

최근에는 비표준 분석의 개념을 사용하여 분석, 특히 통계 및 수학적 물리학의 제한 프로세스를 조사하는 작업이 수행되었습니다. Sergio Albeverio et al. ^[12] 이러한 응용 프로그램 중 일부를 논의합니다.

비표준 분석에는 의미 론적 또는 모델 이론적 접근 방식 과 구문 론적 접근 방식의 두 가지 주요 접근 방식이 있습니다. 이 두 가지 접근 방식은 수 이론, 대수 및 토폴로지를 포함하여 분석 이외의 다른 수학 영역에 적용됩니다.

Robinson의 원래 비표준 분석 공식화는 의미 론적 접근 의 범주에 속합니다 . 그의 논문에서 그가 개발 한 것처럼 그것은 이론 의 모델 (특히 포화 된 모델 )을 연구하는 것을 기반으로 합니다. Robinson의 작업이 처음 등장한 이후로, (Elias Zakon 덕분에) 더 단순한 의미 론적 접근 방식이 상부 구조 라고하는 순전히 집합 이론적 객체를 사용하여 개발되었습니다 . 이 접근 방식 에서 이론의 모델은 집합 S 위에있는 상부 구조 V ( S ) 라는 객체로 대체됩니다 . 상부 구조 V ( S ) 에서 시작 하여 전달 원리 를 충족 하는 매핑 V ( S ) → * V ( S ) 와 함께 초 전력 구조를 사용하여 다른 물체 * V ( S ) 를 구성합니다 . *지도는 V ( S ) 및 * V ( S )의 형식적 속성과 관련 됩니다. 또한 셀 수있는 채도 라고하는 더 단순한 형태의 채도를 고려할 수 있습니다. 이 단순화 된 접근 방식은 모델 이론이나 논리 전문가가 아닌 수학자들이 사용하기에 더 적합합니다.

통 사적 접근 방식은 훨씬 덜 논리와 모델을 이해하는 이론과 사용을 필요로한다. 이 접근 방식은 1970 년대 중반 수학자 Edward Nelson에 의해 개발되었습니다 . Nelson은 그가 내부 집합 이론 (IST) 이라고 부르는 비표준 분석의 완전한 공리적 공식을 도입했습니다 . ^[13] IST는의 확장 체르 멜로-Fraenkel 집합 이론 기본 진 멤버쉽 관계와 함께 그 안에 (ZF)는 ∈는 새로운 단항 술어 도입 표준 함께 추론 일부 공리 수학 우주의 소자에 적용 할 수있다 이 새로운 술어로.

통사론 적 비표준 분석은 수학자들이 일반적으로 당연하게 여기는 집합 형성의 원칙 (공식적으로 는 이해 의 공리 라고 함)을 적용 할 때 많은주의를 필요로합니다 . Nelson이 지적했듯이 IST 추론의 오류는 불법 집합 형성 의 오류입니다 . 예를 들어 IST에는 요소가 정확히 표준 정수인 집합이 없습니다 (여기서 표준 은 새로운 술어의 의미로 이해됩니다). 잘못된 집합 형성을 방지하려면 ZFC의 술어 만 사용하여 하위 집합을 정의해야합니다. ^[13]

구문 접근법의 또 다른 예는 Petr Vopěnka가 소개 한 Alternative Set Theory ^[14]로 , ZF의 공리보다 비표준 분석과 더 잘 호환되는 집합 이론 공리를 찾으려고합니다.

2018 년에 Abdeljalil Saghe는 한외 여과기를 사용하지 않고 비표준 분석 영역을 구성하기위한 명시적인 접근 방식을 제안했습니다.

2018 년 같은 해에 Anggha Nugraha는 Naïve Infinitesimal Analysis라고 부르는 것을 만들기 위해 또 다른 접근 방식을 도입했습니다. ^{[15] [16]} 그의 접근 정렬은 두 (의미 및 구문 론적 방법) 상술 한 접근법 사이이다. 의미 론적으로 그는 모델을 제안했습니다.${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {Z _ {<}}}}$, 이는 어떤면에서 단순화 된 버전입니다. ${\ displaystyle \ mathbb {^ {*} R}}$. 그러나 그는 이것이 공통 언어를 사용하여 두 가지 모두에 대해 이야기하려는 목표를 방해하지 않았습니다.${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {Z _ {<}}}}$ 과 ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$. 공리적으로 그는 구문에 대해서도 이야기했습니다. 그는 Bell ^[17] 을 연상시키는 몇 가지 원리를 사용했습니다 . – 미세 안정성 등. 그럼에도 불구하고 그는 그의 전략이 Chunk & Permeate 이기 때문에 "내부"세트와 "외부"세트를 구분할 필요가 없었기 때문에 두 세트를 합치면서 발생하는 불일치에 대해 걱정할 필요가 없었습니다. 그의 접근 방식을 사용하는 또 다른 장점은 기술적 복잡성에 (너무) 정체되지 않고 합리적으로 직관적으로 작동한다는 것입니다.

아브라함 로빈슨의 저서 비표준 분석 은 1966 년에 출판되었습니다.이 책에서 개발 된 주제 중 일부는 이미 1961 년에 같은 제목의 기사에 포함되었습니다 (Robinson 1961). ^[18] 비표준 분석에 대한 첫 번째 완전한 처리를 포함하는 것 외에도,이 책은 로빈슨이 불일치 실체로 무한소에 대한 비표준 이전 분석 인식을 기반으로 수학의 역사에 대한 의견에 도전하는 상세한 역사적 섹션을 포함합니다. 따라서 Robinson 은 일련의 연속 함수의 수렴에 관한 Cours d' Analyse 에서 Augustin-Louis Cauchy 의 " 합 정리 " 가 잘못 되었다는 생각에 도전하고 올바른 정리를 생성하는 가설에 대한 무한한 기반 해석을 제안합니다. .

Abraham Robinson과 Allen Bernstein은 비표준 분석을 사용 하여 힐베르트 공간의 모든 다항 압축 선형 연산자 에 불변 부분 공간 이 있음을 증명했습니다 . ^[19]

오퍼레이터 주어 T 힐베르트 공간에 H , 점의 궤도 고려 V 에서 H 의 반복 하에서 T를 . Gram-Schmidt 1을 적용하면 H에 대한 정규 직교 기저 ( e _i ) 를 얻습니다 . 하자 ( H _I ) 의 상응하는 중첩 시퀀스의 서브 스페이스 "조정"이 H를 . ( e _i )에 대해 T 를 표현 하는 행렬 a _{i, j} 는 계수 a _{i +1, i} 가 유일한 0이 아닌 부대 각 계수 라는 점에서 거의 상부 삼각 입니다. Bernstein과 Robinson은 T 가 다항 압축이면 행렬 계수 a _{w +1, w} 가 무한소 가되는 초유 한 지수 w 가 있음을 보여줍니다 . 다음 으로 * H 의 부분 공간 H _w 를 고려하십시오 . 경우 Y 에서 H는 _승 유한 규범 보유하고 T ( Y는 ) 무한히 확대하는 것이다 H _w .

이제 T _w를 연산자로 지정합니다.${\ displaystyle P_ {w} \ circ T}$H _w 에 작용합니다 . 여기서 P _w 는 H _w에 대한 직교 투영 입니다. q ( T ) 가 콤팩트 한 다항식 을 q로 표시 합니다 . 부분 공간 H _w 는 초유 한 차원의 내부입니다. 유한 차원 복소 벡터 공간 연산자의 상위 삼각 화를 전송하면 H _w에 대한 내부 직교 힐베르트 공간 기저 ( e _k ) 가 있습니다. 여기서 k 는 1 에서 w로 이어 지므로 각 해당 k 차원 부분 공간 E _k 는 다음과 같습니다. T- 불변. 넣어야 Π는 _k는 서브 스페이스에 프로젝션 E의 _케이 . 비제로 벡터 X 에 한정된 규범 H , 하나는 취할 수 (Q) ( T ) ( X ) 인을 제로 또는 | q ( T ) ( x ) | > 1 아이디어를 수정합니다. 이후 Q ( T는 ) 컴팩트 연산자이며 ( Q를 ( T _w )) ( X ) 무한히 확대이고 Q ( T ) ( X ) 와, 따라서 하나는 보유 | q ( T _w ) ( x ) | > 1 . 이제 j 가${\ displaystyle | q (T_ {w}) \ left (\ Pi _ {j} (x) \ right) | <{\ tfrac {1} {2}}}$. 그러면 E _j에 무한히 가까운 모든 표준 요소의 공간이 원하는 불변 부분 공간입니다.

Bernstein과 Robinson 논문의 프리 프린트를 읽은 Paul Halmos는 표준 기술을 사용하여 증명을 재 해석했습니다. ^[20] 두 논문 모두 Pacific Journal of Mathematics 의 같은 호에 연속적으로 게재되었습니다 . Halmos의 증명에 사용 된 아이디어 중 일부는 몇 년 후 Halmos의 준 삼각 연산자에 대한 작업에서 다시 나타났습니다.

다른 결과는 이전에 알려진 결과를 재 해석하거나 재개하는 라인을 따라 받았습니다. 특히 흥미로운 것은 Teturo Kamae 의 개별 에르 고딕 정리 에 대한 증명 ^[21] 또는 L. van den Dries와 다항식 성장 그룹에 대한 Gromov의 정리에 대한 Alex Wilkie 의 처리 ^[22] 입니다 . Larry Manevitz와 Shmuel Weinberger 는 비표준 분석을 사용하여 대수 토폴로지의 결과를 증명했습니다. ^[23]

그러나 비표준 분석의 진정한 기여는 비표준 집합 이론의 새로운 확장 언어를 활용하는 개념과 정리에 있습니다. 수학의 새로운 응용 목록 중에는 확률에 대한 새로운 접근 방식, ^[11] 유체 역학, ^[24] 측정 이론, ^{[25] 비} 부드러움 및 조화 분석, ^[26] 등이 있습니다.

확률 적 과정의 이론, 특히 무작위 걷기 로 브라운 운동의 구성에 대한 비표준 분석의 응용도 있습니다 . Albeverio et al. ^[12] 이 연구 분야에 대한 훌륭한 소개가 있습니다.

미적분 응용

에 응용 프로그램으로 수학 교육 , H. 제롬 Keisler은 쓴 미소 한 접근 방식 : 초등 미적분을 . ^[10] 커버 비표준 치석 , 그것은 무한 요소를 포함 초 실수를 사용 미적분을 개발한다. 이러한 비표준 분석 의 적용은 유한 하이퍼 리얼 r 의 표준 부분 의 존재에 따라 달라집니다 . 표준 부분 (R) 표시, 성 ( r은 ) , 무한대에 가까운 표준 실수이고 R . Keisler가 사용하는 시각화 장치 중 하나는 무한히 가까운 지점을 구별하기 위해 가상의 무한 배율 현미경입니다. Keisler의 책은 이제 절판되었지만 그의 웹 사이트에서 무료로 구할 수 있습니다. 아래 참조를 참조하십시오.

비표준 분석의 일부 측면의 우아함과 매력에도 불구하고 비표준 분석에 대한 비판에서 문서화 된 것처럼 Errett Bishop , Alain Connes 및 P. Halmos의 비판과 같은 비판도 있었습니다.

모든 세트 주어 S 는 상부 구조물 세트 위에 S는 세트 인 V ( S ) 의 조건에 의해 정의 된

${\ displaystyle V_ {0} (S) = S,}$

${\ displaystyle V_ {n + 1} (S) = V_ {n} (S) \ cup \ wp (V_ {n} (S)),}$

${\ displaystyle V (S) = \ bigcup _ {n \ in \ mathbf {N}} V_ {n} (S).}$

따라서 위에 상부 S는 에서 시작하여 얻어지는 S 및 인접의 동작을 반복 멱 집합 의 S를 하고, 생성 된 서열의 조합을 복용. 실수에 대한 상부 구조에는 다양한 수학적 구조가 포함됩니다. 예를 들어, 분리 가능한 모든 미터법 공간과 측정 가능한 위상 벡터 공간의 동형 복사본을 포함 합니다. 분석가가 관심을 갖는 거의 모든 수학은 V ( R ) 내에서 진행됩니다 .

비표준 분석의 작업 뷰는 몇 가지 추가 속성을 충족 하는 집합 * R 및 매핑 * : V ( R ) → V (* R ) 입니다. 이러한 원칙을 공식화하기 위해 먼저 몇 가지 정의를 언급합니다.

수식을 갖는 경계 정량화 경우 상기 화학식에서 발생하는 유일한 한정사가 설정 범위를 통해 한정되는 경우에만 인 폼의 모든 것을 :

${\ displaystyle \ forall x \ in A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$

${\ displaystyle \ exists x \ in A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$

예를 들어, 공식

${\ displaystyle \ forall x \ in A, \ \ exists y \ in 2 ^ {B}, \ quad x \ in y}$

한정된 정량화, 보편적으로 정량화 된 변수 x 는 A 이상 범위 , 실존 적으로 정량화 된 변수 y 범위는 B의 거듭 제곱 이상 입니다. 반면에

${\ displaystyle \ forall x \ in A, \ \ exists y, \ quad x \ in y}$

y 의 정량화 가 제한되지 않기 때문에 경계 정량화가 없습니다 .

집합 x 는 V ( R ) 의 일부 요소 A 에 대해 x 가 * A 의 요소 인 경우에만 내부 입니다. * 경우 그 자체가 내부에 A가 속하는 V ( R ) .

이제 비표준 분석의 기본 논리적 프레임 워크를 공식화합니다.

• 확장 원칙 : 매핑 *는 R 의 ID입니다 .
• 전달 원리 : 한정 수량화 및 자유 변수 x ₁ , ..., x _{n을 사용} 하는 모든 공식 P ( x ₁ , ..., x _n ) 및 모든 요소 A ₁ , ..., A _n of V ( R ) , 다음 동등성이 유지됩니다.

${\ displaystyle P (A_ {1}, \ ldots, A_ {n}) \ iff P (* A_ {1}, \ ldots, * A_ {n})}$

• 셀 수있는 채도 : { A _k } _{k ∈ N} 이 비어 있지 않은 내부 집합의 감소 시퀀스 인 경우 k 범위는 자연수를 초과하는 경우

${\ displaystyle \ bigcap _ {k} A_ {k} \ neq \ emptyset}$

울트라 제품을 사용하여 그러한지도 *가 존재 함을 보여줄 수 있습니다. V ( R )의 요소를 표준 이라고 합니다 . * R의 요소를 초 실수 라고 합니다 .

기호 * N 은 비표준 자연수를 나타냅니다. 확장 원칙에 따라 이것은 N 의 상위 집합입니다 . 세트 * N − N 은 비어 있지 않습니다. 이를 확인하려면 내부 세트 시퀀스에 셀 수있는 채도 를 적용 합니다.

${\ displaystyle A_ {n} = \ {k \ in {^ {*} \ mathbf {N}} : k \ geq n \}}$

시퀀스 { A _n } _{n ∈ N} 에는 비어 있지 않은 교차점이있어 결과를 증명합니다.

몇 가지 정의로 시작합니다. Hyperreals r , s 는 다음 과 같은 경우에만 무한히 가깝습니다.

${\ displaystyle r \ cong s \ iff \ forall \ theta \ in \ mathbf {R} ^ {+}, \ | rs | \ leq \ theta}$

초현실적 R은 이며 극미 하고 무한히 확대 0으로, 예를 들면 만, 만약 있다면 , n은 A는 초 정수 즉,의 요소 * N - N , 다음 1 / n은 극미량이다. 하이퍼 리얼 r 은 절대 값이 표준 정수 (보다 작음)에 의해 지배되는 경우에만 제한됩니다 (또는 유한 ). 제한된 하이퍼 리얼 은 실수를 포함하는 * R 의 서브 링을 형성합니다 . 이 고리에서 극소 초 실적은 이상적입니다 .

제한된 하이퍼 리얼 세트 또는 무한 극소 하이퍼 리얼 세트는 V (* R ) 의 외부 서브 세트입니다 . 이것이 실제로 의미하는 바는 경계가 내부 집합 인 경계 정량화가 이러한 집합을 넘지 않는다는 것입니다.

예 : 평면 ( X , Y ) 와 함께 X 및 Y 에 이르기 * R은 내부이며, 평면 유클리드 기하학 모델이다. 와 평면 X 및 Y (받는 제한된 유사한 값으로 제한 Dehn 보 평면 )의 외부, 그리고이 제한 평면에 평행 한 가정을 위반한다. 예를 들어, 어떤 라인이 통과하는 점 (0, 1) 상의 Y하면 과 극소 슬로프를 갖는 것은 평행 이동시킴으로써 행한다 X 시킴으로써 행한다.

정리. 어떤 제한 초현실적를 들어 R 고유 표준 실제는 표시가 성 ( R를 ) 무한대에 가까운 연구 . 매핑 st 는 제한된 하이퍼 리얼의 고리에서 R 로의 고리 동형입니다 .

매핑 st도 외부입니다.

하이퍼 리얼 의 표준 부분 을 생각하는 한 가지 방법은 Dedekind 컷 에 관한 것입니다 . 제한적 초현실적 의 정의 세트 쌍을 고려하여 절단 ( L , U ) L은 표준 유리수의 집합이다 이하 S 및 U는 표준 유리수의 집합 인 B 보다 들 . ( L , U )에 해당하는 실수 는 s 의 표준 부분이된다는 조건을 만족하는 것으로 볼 수 있습니다 .

연속성의 직관적 인 특성은 다음과 같습니다.

정리. 구간 [ a , b ] 의 실수 값 함수 f 는 구간 * [ a , b ]의 모든 하이퍼 리얼 x 에 대해 다음과 같은 경우에만 연속적입니다 . * f ( x ) ≅ * f (st ( x ) ) .

( 자세한 내용 은 미세 연속성 참조). 비슷하게,

정리. 실수 값 함수 f 는 모든 무한 초 실수 h에 대해 다음과 같은 경우에만 실수 값 x 에서 미분 할 수 있습니다.

${\ displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {{^ {*} f} (x + h)-{^ {*} f} (x)} {h}} \ 권리)}$

존재하며 h 와 독립적입니다 . 이 경우 f ′ ( x ) 는 실수이고 x 에서 f 의 미분입니다 .

더 높은 카디널리티 컬렉션이 교차되도록 허용하여 채도를 "향상"할 수 있습니다. 모델은 κ - 포화 때마다 경우${\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ {i \ in I}}$유한 교차 속성을 가진 내부 집합의 모음 이며${\ displaystyle | I | \ leq \ kappa}$,

${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ neq \ emptyset}$

이것은 예를 들어 위상 공간 X 에서 유용합니다. 여기서 | 2 ^X | -표준 이웃 기지 의 교차점 이 비어 있지 않은지 확인하기위한 포화 . ^[27]

모든 추기경 κ 에 대해 κ 포화 확장을 구성 할 수 있습니다. ^[28]

• EE Rosinger, [math / 0407178]. 비표준 분석에 대한 간략한 소개 . arxiv.org.

• Wikiquote의 비표준 분석 관련 인용문
• Lindsay Keegan 의 The Ghosts of Departed Quantities .