공간 채우기 곡선

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공간을 채우는 곡선이 한계 인 Peano 곡선 구성 의 세 번 반복 .

에서는 수학적 분석 하는 공간 채움 곡선 A는 곡선범위 전체 2 차원 포함 단위 정사각형 (또는 더 일반적으로 N 차원의 단위 하이퍼 큐브는 ). Giuseppe Peano (1858–1932)가 처음 발견 했기 때문에 2 차원 평면 의 공간 채우기 곡선을 Peano 곡선 이라고도 합니다 . 그러나이 문구는 공간 채우기 곡선의 구체적인 예인 Peano 곡선을 지칭하기도합니다. Peano에 의해 발견되었습니다.

정의 [ 편집 ]

직관적으로 2 차원 또는 3 차원 (또는 그 이상)의 곡선은 지속적으로 움직이는 점의 경로로 생각할 수 있습니다. 이 개념의 본질적인 모호함을 제거하기 위해 1887 년 Jordan 은 다음과 같은 엄격한 정의를 도입했으며, 이후 곡선 개념의 정확한 설명으로 채택되었습니다 .

곡선 (끝점 포함)은 도메인이 단위 간격 [0, 1]연속 함수 입니다 .

가장 일반적인 형태에서 이러한 함수의 범위는 임의의 토폴로지 공간 에있을 수 있지만 가장 일반적으로 연구되는 경우 범위는 2 차원 평면 ( 평면 곡선 ) 또는 다음 과 같은 유클리드 공간에 있습니다 . 3 차원 공간 ( 공간 곡선 ).

경우에 따라 곡선은 함수 자체 대신 함수 이미지 (함수의 가능한 모든 값 집합 )로 식별 됩니다. 끝 점이없는 곡선을 실제 선 (또는 열린 단위 간격  (0, 1) ) 에서 연속 함수로 정의 할 수도 있습니다 .

역사 [ 편집 ]

1890 년 Peano 는 단위 사각형의 모든 지점을 통과 하는 연속 곡선 (현재 Peano 곡선 )을 발견했습니다 ( Peano (1890) ). 그의 목적은 단위 간격 에서 단위 사각형 까지 연속적인 매핑 을 구성하는 것이 었습니다 . Peano는 Georg Cantor 의 초기 반 직관적 인 결과에 의해 동기가 부여되었습니다 . 단위 간격 의 무한 포인트 수는 유한 차원 매니 폴드 의 무한 포인트 수 와 동일한 카디널리티입니다., 같은 단위 광장. Peano가 해결 한 문제는 그러한 매핑이 연속적 일 수 있는지 여부였습니다. 즉, 공간을 채우는 곡선. Peano의 솔루션은 단위 간격과 단위 제곱 사이에 연속적인 일대일 대응을 설정하지 않으며 실제로 그러한 대응은 존재하지 않습니다 (아래 "속성"참조).

얇음 과 1 차원 이라는 모호한 개념 을 곡선과 연관시키는 것이 일반적이었습니다 . 일반적으로 만나는 모든 곡선은 부분적 으로 미분 할 수 있었으며 (즉, 부분적으로 연속적인 도함수를 가짐) 이러한 곡선은 전체 단위 제곱을 채울 수 없습니다. 따라서 Peano의 공간 채우기 곡선은 매우 반 직관적 인 것으로 밝혀졌습니다.

Peano의 예에서 범위에 n 차원 하이퍼 큐브 (양의 정수 n에 대해 )가 포함 된 연속 곡선을 쉽게 추론 할 수있었습니다 . 또한 Peano의 예를 끝 점이없는 연속 곡선으로 확장하여 전체 n 차원 유클리드 공간 (여기서 n 은 2, 3 또는 기타 양의 정수) 을 채웠습니다 .

가장 잘 알려진 공간 채우기 곡선은 연속적인 조각 선형 연속 곡선 의 한계로 반복적으로 구성되며 , 각각은 공간 채우기 한계에 더 근접합니다.

Peano의 획기적인 기사에는 삼항 확장미러링 연산자로 정의되는 그의 구성에 대한 삽화가 포함되어 있지 않습니다 . 그러나 그래픽 구조는 그에게 완벽하게 분명했습니다. 그는 토리노에있는 그의 집에서 곡선의 그림을 보여주는 장식용 타일을 만들었습니다. Peano의 기사는 또한이 기술이 3 진법 이외의 다른 기수로 확장 될 수 있음을 관찰함으로써 끝납니다. 그래픽 시각화에 대한 호소를 피하기위한 그의 선택의심 할 여지없이, 그림에 전혀 영향을받지 않는 근거가 있고 완전히 엄격한 증거에 대한 열망에서 동기가 부여되었습니다. 그 당시 (일반 토폴로지의 기초가 시작된 시점) 그래픽 인수는 여전히 증명에 포함되었지만 직관적이지 않은 결과를 이해하는 데 장애가되었습니다.

1 년 후 David Hilbert 는 같은 저널에 Peano의 구성 ( Hilbert 1891 ) 의 변형을 발표했습니다 . Hilbert의 기사는 본질적으로 여기에 설명 된 것과 동일한 구성 기술을 시각화하는 데 도움이되는 그림을 처음으로 포함했습니다. 그러나 Hilbert 곡선 의 분석적 형태는 Peano보다 더 복잡합니다.

수학자 David Hilbert 가 공간 채우기 곡선을 제한하는 힐베르트 곡선 구성의 6 번 반복 .

공간을 채우는 곡선의 구성 개요 [ 편집 ]

하자 나타낸다 캔터 공간 .

Cantor 공간 에서 전체 단위 간격에 대한 연속 함수로 시작 합니다 . ( Cantor 기능Cantor 세트제한하는 것이 이러한 기능의 한 예입니다.) 여기서 우리는 다음 을 설정 하여 토폴로지 제품 에서 전체 단위 사각형 으로 연속 기능 얻습니다.

선창자 집합이므로 homeomorphic 제품에 연속 전단 사 함수가 상 칸토어 집합 . and 의 구성 Cantor 세트를 전체 단위 사각형에 매핑하는 연속 함수입니다. (또는 모든 콤팩트 한 메트릭 공간이 함수를 얻기 위해 설정된 Cantor의 연속 이미지 라는 정리를 사용할 수 있습니다 .)

마지막으로 도메인이 전체 단위 간격 인 연속 함수 확장 수 있습니다 . 이는의 각 구성 요소에 대해 Tietze 확장 정리사용 하거나 단순히 "선형"으로 확장 하여 수행 할 수 있습니다 (즉 , Cantor 집합 구성에서 삭제 된 각 개방 간격 에서 확장 부분을 정의합니다. 값을 결합하는 단위 사각형 내의 선분 ).

속성 [ 편집 ]

각 주소를 RGB 표준 에서 다른 색으로 플로팅 하고 Geohash 레이블을 사용 하는 수준 6의 MortonHilbert 곡선 ( 재귀 적 제곱 분할4 5 = 1024 개 셀 ) . 이웃은 비슷한 색상을 가지고 있지만 각 곡선은 더 작은 규모로 유사한 그룹화의 다른 패턴을 제공합니다.

곡선이 주입 적이 지 않은 경우 곡선의 교차하는 두 개의 하위 곡선을 찾을 수 있으며 , 각각 곡선의 영역 (단위 선 세그먼트)에서 분리 된 두 세그먼트의 이미지를 고려하여 얻은 것입니다. 두 이미지 교차점비어 있지 않으면 두 하위 곡선이 교차합니다 . 교차 하는 곡선 의 의미 는 두 개의 평행하지 않은 선의 교차점처럼 한쪽에서 다른 쪽까지 반드시 서로 교차한다는 것입니다. 그러나 두 커브 (또는 한 커브의 두 하위 커브)는 예를 들어 원에 접하는 선과 같이 교차하지 않고 서로 접촉 할 수 있습니다.

자체 교차하지 않는 연속 곡선은 단위 사각형을 채울 수 없습니다. 그 이유는 곡선 이 단위 간격에서 단위 사각형으로의 동종 이형 이되게하기 때문입니다 ( 조밀 한 공간 에서 Hausdorff 공간 으로의 연속적인 bijection동종 이형입니다). 그러나 단위 사각형에는 절단 점이 없으므로 끝점을 제외한 모든 점이 절단 점 인 단위 간격에 동종 일 수 없습니다. 0이 아닌 영역의 자체 교차하지 않는 곡선 인 Osgood 곡선 이 있지만 공간을 채우지 않습니다.

두 개의 서브 커브가 교차하는 클래식 Peano 및 Hilbert 공간 채우기 곡선의 경우 (기술적 인 의미에서) 자체 교차없이 자체 접촉이 있습니다. 공간 채우기 곡선은 근사 곡선이 자체 교차하는 경우 (모든 곳에서) 자체 교차 할 수 있습니다. 위의 그림에서 볼 수 있듯이 공간 채우기 곡선의 근사치는 자체 회피 할 수 있습니다. 3 차원에서 자기 회피 근사 곡선은 매듭을 포함 할 수도 있습니다 . 근사 곡선은 n 차원 공간 의 경계 부분 내에 남아 있지만 길이는 경계없이 증가합니다.

공간 채우기 곡선은 프랙탈 곡선의 특수한 경우입니다 . 차별화 할 수있는 공간 채우기 곡선은 존재할 수 없습니다. 대략적으로 말하면 미분 성은 곡선이 얼마나 빨리 회전 할 수 있는지에 제한을 둡니다.

Hahn–Mazurkiewicz 정리 [ 편집 ]

푸르트 - Mazurkiewicz의 이론 곡선의 연속 이미지이다 스페이스의 다음의 특징이다 :

비어 있지 않은 Hausdorff 토폴로지 공간은 그것이 조밀하고, 연결되고 , 국부적으로 연결되고 , 두 번째로 계산 가능한 공간 인 경우에만 단위 간격의 연속 이미지입니다 .

단위 간격의 연속 이미지 인 공간을 Peano 공간 이라고 합니다 .

Hahn–Mazurkiewicz 정리의 많은 공식에서 second-countablemetrizable 로 대체됩니다 . 이 두 가지 공식은 동일합니다. 한 방향에서 콤팩트 Hausdorff 공간은 정상 공간 이며 Urysohn 미터 화 정리에 의해 두 번째 계산 가능은 미터 화 가능함 을 의미합니다. 반대로, 콤팩트 한 메트릭 공간은 두 번째로 계산할 수 있습니다.

Kleinian 그룹 [ 편집 ]

이중 퇴화 Kleinian 그룹 이론에는 공간 채우기 또는 구형 채우기 곡선의 자연적인 예가 많이 있습니다 . 예를 들어, 캐논 및 스턴 (2007) 의 무한 원되었습니다 범용 커버 (A)의 섬유의 매핑 원환 체 (A)의 가상 맵 Anosov 구 채움 곡선이다. (여기서 구는 쌍곡선 3- 공간의 무한대에있는 구 입니다.)

통합 [ 편집 ]

위너 지적 푸리에 적분 및 애플리케이션의 특정 공간 채움 곡선을 줄이기 위해 사용될 수 있다는 르 베그 적분 일차원 르 베그 적분을 높은 차원에서를.

참조 [ 편집 ]

  • 드래곤 커브
  • 고스 퍼 곡선
  • 힐베르트 곡선
  • 코흐 곡선
  • 무어 커브
  • 머레이 폴리곤
  • 시 에르 핀 스키 곡선
  • 공간을 채우는 나무
  • 공간 색인
  • 힐베르트 R- 트리
  • B X - 트리
  • Z-order (곡선) (Morton-order)
  • Hausdorff 차원 별 프랙탈 목록

참고 문헌 [ 편집 ]

  • 캐논, 제임스 W .; Thurston, William P. (2007) [1982], "Group invariant Peano curves", Geometry & Topology , 11 (3) : 1315–1355, doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060 , MR  2326947
  • Hilbert, D. (1891), "Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück" , Mathematische Annalen (독일어), 38 (3) : 459–460, doi : 10.1007 / BF01199431 , S2CID  123643081
  • Mandelbrot, BB (1982), "Ch. 7 : Harnessing the Peano Monster Curves", The Fractal Geometry of Nature , WH Freeman.
  • McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies 및 Frenzies : 정사각형 그리드의 Peano 곡선의 기본 패밀리", Guy, Richard K .; Woodrow, Robert E. (eds.), The Lighter Side of Mathematics : Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , Mathematical Association of America , pp.  49–73 , ISBN 978-0-88385-516-4.
  • Peano, G. (1890), "Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane" , Mathematische Annalen (프랑스어), 36 (1) : 157–160, doi : 10.1007 / BF01199438 , S2CID  179177780.
  • Sagan, Hans (1994), Space-Filling Curves , Universitext, Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR  1299533.

외부 링크 [ 편집 ]

  • 다차원 공간 채우기 곡선
  • 매듭자르는 과정에서 bijection의 존재 증명

자바 애플릿 :

  • 매듭을 자르면 Peano 평면 채우기 곡선
  • 힐버트의 무어의 평면 충전 곡선 컷 - 더 - 매듭에서
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