벡터 미적분

스칼라 필드

스칼라 필드 어소 시에이 스칼라 공간의 모든 단계에 대한 값입니다. 스칼라는 물리량을 나타내는 수학적 숫자 입니다. 응용 분야에서 스칼라 필드의 예로는 공간 전체 의 온도 분포 , 유체 의 압력 분포 , Higgs 필드 와 같은 스핀 제로 양자 필드 ( 스칼라 보손이라고 함 )가 있습니다 . 이러한 필드는 스칼라 필드 이론 의 주제입니다 .

벡터 필드

벡터 필드 (A)의 할당이다 벡터 A의 각 지점에 공간 . ^예 를 들어, 평면의 벡터 필드는 주어진 크기 와 방향이 각각 평면의 한 지점에 첨부 된 화살표 모음으로 시각화 될 수 있습니다 . 벡터 필드는 종종 공간 전체에서 움직이는 유체의 속도와 방향, 또는 점에서 점으로 변할 때 자기 또는 중력 과 같은 일부 힘 의 강도와 방향을 모델링하는 데 사용됩니다 . 예를 들어, 이것은 라인을 통해 수행 된 작업 을 계산하는 데 사용할 수 있습니다 .

벡터와 의사 벡터

더 고급 처리에서는 방향 반전 맵에서 부호를 변경한다는 점을 제외하면 벡터 필드 및 스칼라 필드와 동일한 의사 벡터 필드와 의사 스칼라 필드를 추가로 구분 합니다 . 예를 들어 벡터 필드 의 컬 은 의사 벡터 필드입니다. 벡터 필드를 반사하면 컬은 반대 방향을 가리 킵니다. 이 구분은 아래에 설명 된 바와 같이 기하 대수 에서 명확하고 정교 해 집니다.

벡터 미적분의 대수 (비차 등) 연산은 벡터 대수 라고 하며 벡터 공간에 대해 정의 된 다음 벡터 필드에 전역 적으로 적용됩니다. 기본 대수 연산은 다음과 같이 구성됩니다. ^[2]

벡터 미적분 표기법

조작	표기법	기술
벡터 추가	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} + \ mathbf {v} _ {2}}$	두 벡터를 더하여 벡터를 생성합니다.
스칼라 곱셈	${\ displaystyle a \ mathbf {v}}$	스칼라와 벡터를 곱하여 벡터를 생성합니다.
내적	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$	두 벡터를 곱하여 스칼라를 생성합니다.
교차 곱	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ mathbf {v} _ {2}}$	두 벡터의 곱셈 ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$, (의사) 벡터를 산출합니다.

또한 일반적으로 사용되는 두 가지 트리플 제품 :

벡터 미적분 트리플 제품

조작	표기법	기술
스칼라 삼중 곱	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	두 벡터의 외적의 내적입니다.
벡터 삼중 곱	${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	두 벡터의 외적의 외적입니다.

차동 연산자

벡터 미적분학 은 스칼라 또는 벡터 필드에 정의 된 다양한 미분 연산자를 연구하며 , 일반적으로 del 연산자 (${\ displaystyle \ nabla}$), "nabla"라고도합니다. 세 가지 기본 벡터 연산자 는 다음과 같습니다. ^{[3] [4]}

벡터 미적분의 미분 연산자

조작	표기법	기술	표기법 비유	도메인 / 범위
구배	${\ displaystyle \ operatorname {grad} (f) = \ nabla f}$	스칼라 필드의 변경 속도와 방향을 측정합니다.	스칼라 곱셈	스칼라 필드를 벡터 필드에 매핑합니다.
분기	${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$	벡터 필드의 지정된 지점에서 소스 또는 싱크의 스칼라를 측정합니다.	내적	벡터 필드를 스칼라 필드에 매핑합니다.
곱슬 곱슬하다	${\ displaystyle \ operatorname {curl} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ times \ mathbf {F}}$	벡터 필드의 한 점을 중심으로 회전하는 경향을 측정합니다. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$.	교차 곱	벡터 필드를 (의사) 벡터 필드에 매핑합니다.
f 는 스칼라 필드를 나타내고 F 는 벡터 필드를 나타냅니다.

또한 일반적으로 사용되는 두 가지 Laplace 연산자는 다음과 같습니다.

벡터 미적분의 라플라스 연산자

조작	표기법	기술	도메인 / 범위
라플라시안	${\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$	무한소 공에 대한 평균값과 스칼라 필드 값 간의 차이를 측정합니다.	스칼라 필드 간 매핑.
벡터 라플라시안	${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {F} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {F})-\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {F})}$	벡터 장의 값과 극소 공의 평균값 간의 차이를 측정합니다.	벡터 필드 간 매핑.
f 는 스칼라 필드를 나타내고 F 는 벡터 필드를 나타냅니다.

야 코비 행렬 이라는 양은 통합 중 변수 변경 과 같이 함수의 영역과 범위가 모두 다 변수 일 때 함수를 연구하는 데 유용합니다 .

적분 정리

세 가지 기본 벡터 연산자에는 미적분 의 기본 정리 를 더 높은 차원으로 일반화하는 해당 정리가 있습니다 .

벡터 미적분의 적분 정리

정리	성명서	기술
기울기 정리	${\ displaystyle \ int _ {L \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} \! \! \! \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r} \ = \ \ varphi \ left (\ mathbf {q } \ right)-\ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) \ \ {\ text {for}} \ \ L = L [p \ to q]}$	선적분 이상 스칼라 필드의 구배 곡선 L은 종점의 사이의 스칼라 장에서의 변화와 동일하다 P 와 Q 곡선.
발산 정리	${\ displaystyle \ underbrace {\ int \! \ cdots \! \ int _ {V \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}} _ {n} (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \, dV \ = \ \ underbrace {\ oint \! \ cdots \! \ oint _ {\ partial V}} _ {n-1} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {S}}$	n 차원 고체 V 에 대한 벡터 장 발산의 적분은 고체 의 ( n -1) 차원 폐쇄 경계면을 통과하는 벡터 장의 플럭스 와 같습니다 .
Curl (Kelvin–Stokes) 정리	${\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma \, \ subset \ mathbb {R} ^ {3}} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot d \ mathbf {\ Sigma} \ = \ \ oint _ { \! \! \! \ partial \ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}}$	표면 Σ에 대한 벡터 장의 컬의 적분${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ 표면을 경계하는 폐곡선 주위의 벡터 장 순환과 같습니다.
${\ displaystyle \ varphi}$스칼라 필드를 나타내고 F 는 벡터 필드를 나타냅니다.

2 차원에서 발산 및 컬 정리는 그린 정리로 축소됩니다.

그린의 벡터 미적분 정리

정리	성명서	기술
그린의 정리	${\ displaystyle \ iint _ {A \, \ subset \ mathbb {R} ^ {2}} \ left ({\ frac {\ partial M} {\ partial x}}-{\ frac {\ partial L} {\ 부분 y}} \ 오른쪽) dA \ = \ \ oint _ {\ partial A} \ left (L \, dx + M \, dy \ right)}$	일부 영역 A 에 대한 벡터 장의 발산 (또는 컬) 적분${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ 영역을 경계하는 폐곡선에 대한 벡터 장의 플럭스 (또는 순환)와 같습니다.
발산의 경우 F = ( M , − L ) . 컬의 경우 F = ( L , M , 0) . L 과 M 은 ( x , y )의 함수입니다 .

선형 근사

선형 근사는 복잡한 함수를 거의 동일한 선형 함수로 대체하는 데 사용됩니다. 미분 함수 주어 F ( X , Y ) 실제 값은, 하나는 대략 수 F ( X , Y ) 에 대한 ( X , Y ) 에 가까운 ( , B가 ) 식

${\ displaystyle f (x, y) \ \ approx \ f (a, b) + {\ tfrac {\ partial f} {\ partial x}} (a, b) \, (xa) + {\ tfrac {\ 부분 f} {\ 부분 y}} (a, b) \, (yb).}$

우변은 ( a , b ) 에서 z = f ( x , y ) 그래프에 접하는 평면 방정식입니다 .

최적화

여러 실수 변수 의 연속적으로 미분 할 수있는 함수의 경우 함수의 모든 편도 함수가 0 인 경우 점 P (즉, R ⁿ 의 점으로 표시되는 입력 변수에 대한 값 집합 )가 중요 합니다. P 또는 그에 상응하는 기울기 가 0 인 경우. 임계 값은 임계점에서의 함수 값입니다.

함수가 부드럽 거나 적어도 두 번 연속적으로 미분 할 수있는 경우 임계점은 로컬 최대 값 , 로컬 최소값 또는 새들 포인트 일 수 있습니다. 2 차 도함수 의 헤 시안 행렬 의 고유 값 을 고려하여 다른 경우를 구별 할 수 있습니다 .

으로 페르마의 정리 , 모든 지역의 최대 값과 최소값 미분 기능의 중요한 지점에서 발생합니다. 따라서 국소 최댓값과 최솟값을 찾기 위해서는 이론적으로 기울기의 0과이 0에서 헤센 행렬의 고유 값을 계산하는 것으로 충분합니다.

물리학 및 공학

벡터 미적분은 특히 다음과 같은 연구에 유용합니다.

• 질량 중심
• 필드 이론
• 운동학
• 맥스웰 방정식

다른 3- 매니 폴드

벡터 미적분은 처음에 Euclidean 3-space에 대해 정의됩니다 .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3},}$추가 단순히 즉 3 차원 실 벡터 공간 인 이후 구조 갖는하십시오 규범 통해 정의 (길이의 개념을주는) 내적 합니다 ( 내적 차례로 각도의 개념을 제공한다)와, 방향 , 왼손잡이와 오른 손잡이의 개념을 제공합니다. 이러한 구조는 볼륨 형태 와 벡터 미적분학에서 널리 사용되는 외적 을 생성합니다.

기울기와 발산은 내적 만 필요하고, 컬과 외적은 좌표계 의 손잡이도 고려해야합니다 (자세한 내용은 외적과 손잡이 참조 ).

벡터 미적분은 다른 3 차원 실수 벡터 공간에 내적 (또는 일반적으로 대칭이 아닌 비 변성 형태 )과 방향 이있는 경우 정의 할 수 있습니다 . 이것은 벡터 미적분이 회전에 따라 변하지 않는다는 사실을 반영하는 일련의 좌표 (기준 프레임)가 필요하지 않기 때문에 유클리드 공간에 대한 동형보다 적은 데이터입니다 ( 특수 직교 그룹 SO (3)). .

보다 일반적으로 벡터 미적분은 3 차원 지향 리만 매니 폴드 또는보다 일반적으로 의사 리만 매니 폴드 에서 정의 할 수 있습니다 . 이 구조는 단순히 각 지점 의 접선 공간 이 내적 (보다 일반적으로 대칭이 아닌 비 변성 형태)과 방향을 갖거나,보다 전역 적으로 대칭 비 퇴화 메트릭 텐서 와 방향이 있다는 것을 의미하며 벡터 미적분이 정의 되었기 때문에 작동합니다. 각 점의 접선 벡터 측면에서.

다른 차원

대부분의 분석 결과는 벡터 미적분학이 하위 집합을 형성하는 미분 기하학 의 기계를 사용하여보다 일반적인 형식으로 쉽게 이해 됩니다. Grad 및 div는 기울기 정리, 발산 정리 및 Laplacian (항복 조화 분석 ) 처럼 다른 차원으로 즉시 일반화 되는 반면, curl 및 cross product는 직접적으로 일반화되지 않습니다.

일반적인 관점에서 (3 차원) 벡터 미적분학의 다양한 필드는 k- 벡터 필드 로 균일하게 표시됩니다 . 스칼라 필드는 0- 벡터 필드, 벡터 필드는 1- 벡터 필드, 의사 벡터 필드는 2- 벡터입니다. 필드 및 의사 스칼라 필드는 3- 벡터 필드입니다. 더 높은 차원에는 추가 필드 유형 (스칼라 / 벡터 / 의사 벡터 / 의사 스칼라, 0 / 1 / n −1 / n 차원에 해당하며 차원 3에서 완전 함)이 있으므로 (의사) 스칼라 및 ( 의사) 벡터.

어떤 차원에서든 비 변성 형식을 가정하면 스칼라 함수의 grad는 벡터 필드이고 벡터 필드의 div는 스칼라 함수이지만 차원 3 또는 7에서만 가능합니다 ^[5] (그리고 간단히 차원 0 또는 1 )는 벡터 필드의 컬이며 벡터 필드이며 3 차원 또는 7 차원 에서만 외적을 정의 할 수 있습니다 (다른 차원의 일반화에는${\ displaystyle n-1}$벡터는 1 개의 벡터를 생성하거나 더 일반적인 비대칭 쌍 선형 곱인 대체 거짓말 대수 입니다. grad 및 div의 일반화와 curl이 일반화되는 방법은 Curl : Generalizations 에서 자세히 설명합니다 . 간단히 말해서, 벡터 장의 컬은 쌍 벡터 장이며 , 이것은 무한소 회전 의 특별한 직교 거짓말 대수 로 해석 될 수 있습니다 . 그러나 이것은 차원이 다르기 때문에 벡터 필드로 식별 할 수 없습니다. 3 차원 회전에는 3 차원이 있지만 4 차원 회전에는 6 차원이 있습니다 (더 일반적으로${\ displaystyle \ textstyle {{\ binom {n} {2}} = {\ frac {1} {2}} n (n-1)}}$n 차원의 회전 차원).

벡터 미적분의 두 가지 중요한 대체 일반화가 있습니다. 첫 번째 기하 대수 는 벡터 필드 대신 k- 벡터 필드를 사용합니다 (3 차원 이하에서 모든 k- 벡터 필드는 스칼라 함수 또는 벡터 필드로 식별 될 수 있지만 더 높은 차원에서는 해당되지 않음). 이 특정은 함께 두 벡터 필드 취하고 출력으로서 벡터 필드를주는 3 차원이고 외적 대체 외관 제품 모든 치수에 있고 출력으로 bivector주는 두 벡터 장 취하고, (2 -벡터) 필드. 이 제품은 벡터 공간의 대수 구조로 Clifford 대수 를 산출 합니다 (방향 및 비 변성 형태). 기하학적 대수는 주로 물리학 및 기타 응용 분야를 더 높은 차원으로 일반화하는 데 사용됩니다.

두 번째 일반화는 벡터 필드 또는 k- 벡터 필드 대신 미분 형식 ( k- covector 필드)을 사용하며 수학, 특히 미분 기하학 , 기하학적 토폴로지 및 고조파 분석 에서 널리 사용되며, 특히 지향성 의사에 대한 호지 이론 을 산출합니다. 리만 매니 폴드. 이 관점에서 grad, curl, div 는 각각 0 형, 1 형, 2 형 의 외형 도함수 에 해당하며 벡터 미적분의 핵심 정리는 모두 일반적인 Stokes 형식의 특수한 경우입니다. '정리 .

이러한 일반화의 관점에서 벡터 미적분학은 수학적으로 구별되는 객체를 암시 적으로 식별하므로 표현이 더 간단 해지지 만 기본 수학적 구조와 일반화가 덜 명확합니다. 기하 대수의 관점에서 벡터 미적분학 은 벡터 필드 또는 스칼라 함수가있는 k- 벡터 필드를 암시 적으로 식별 합니다 : 스칼라가있는 0- 벡터 및 3- 벡터, 벡터가있는 1- 벡터 및 2- 벡터. 미분 형식의 관점에서 벡터 미적분학 은 스칼라 필드 또는 벡터 필드가있는 k 형식을 암시 적으로 식별 합니다. 스칼라 필드가있는 0 형식 및 3 형식, 벡터 필드가있는 1 형식 및 2 형식입니다. 따라서 예를 들어 컬은 자연스럽게 벡터 필드 또는 1 형식을 입력으로 취하지 만 자연스럽게 출력으로 2 벡터 필드 또는 2 형식 (따라서 의사 벡터 필드)을 가져 오며, 이는 직접 취하지 않고 벡터 필드로 해석됩니다. 벡터 필드에 벡터 필드; 이것은 벡터 필드를 출력하지 않는 더 높은 차원의 벡터 필드의 컬에 반영됩니다.

인용

출처

• "벡터 분석" , 수학 백과 사전 , EMS Press , 2001 [1994]
• "Vector algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• 벡터 분석에서 ∇의 부적절한 사용에 대한 조사 (1994) Tai, Chen-To
• 벡터 분석 : 1902 년 출판 된 Edwin Bidwell Wilson 의 수학 및 물리학 학생 사용을위한 교과서 ( 윌라드 깁스 의 강의를 기반으로 함 ) .
• 일부 수학 단어의 가장 초기에 알려진 사용 : 벡터 분석